Teorema del Dini
Ciao ragazzi,sono alle prese con gli esercizi riguardanti il teorema del Dini e non riesco a risolverne uno.
" Verificare che $x=0$ è un punto di massimo relativo per la funzione $h(x)$ definita implicitamente dall'equazione:
$ arctany+x^2-xy=0 $ in un intorno di $(0,0)$. "
In primis ho verificato le condizioni del Teorema del Dini:
$f(0,0)=0$ ; $f_y(0,0)=1\ne0$
Ora,sempre per il teorema del Dini so che :
$g'(0)=-f_x(0,0)/(f_y(0,0))=0$ dunque $(0,0)$ è un punto estremante,poichè la derivata calcolata in questo punto è 0.
A questo punto,come faccio a verificare che è un massimo? Ho provato a procedere con lo studio dell'Hessiano ma arrivo a dimostrare che è un punto di minimo,quindi ho i miei dubbi che si possa procedere in questo modo.
" Verificare che $x=0$ è un punto di massimo relativo per la funzione $h(x)$ definita implicitamente dall'equazione:
$ arctany+x^2-xy=0 $ in un intorno di $(0,0)$. "
In primis ho verificato le condizioni del Teorema del Dini:
$f(0,0)=0$ ; $f_y(0,0)=1\ne0$
Ora,sempre per il teorema del Dini so che :
$g'(0)=-f_x(0,0)/(f_y(0,0))=0$ dunque $(0,0)$ è un punto estremante,poichè la derivata calcolata in questo punto è 0.
A questo punto,come faccio a verificare che è un massimo? Ho provato a procedere con lo studio dell'Hessiano ma arrivo a dimostrare che è un punto di minimo,quindi ho i miei dubbi che si possa procedere in questo modo.
Risposte
puoi usare il seguente teorema:
"se valgono le ipotesi del teorema del Dini ed inoltre F sia di classe $C^2$ in Ω.
i) Se $F_x(x_0, y_0) = 0$ e $F_(xx)(x_0, y_0)F_y(x_0, y_0) < 0$ allora $x_0$ è un punto di minimo forte per f.
ii) Se $F_x(x_0, y_0) = 0$ e $F_(xx)(x_0, y_0)F_y(x_0, y_0) > 0 $ allora $x_0$ è un punto di massimo forte per f."
"se valgono le ipotesi del teorema del Dini ed inoltre F sia di classe $C^2$ in Ω.
i) Se $F_x(x_0, y_0) = 0$ e $F_(xx)(x_0, y_0)F_y(x_0, y_0) < 0$ allora $x_0$ è un punto di minimo forte per f.
ii) Se $F_x(x_0, y_0) = 0$ e $F_(xx)(x_0, y_0)F_y(x_0, y_0) > 0 $ allora $x_0$ è un punto di massimo forte per f."
Perfetto,grazie mille! Sai dirmi perchè con l'hessiano ottengo come risultato l'opposto?
l'hessiana a dir la verità è sbagliata, non deve "esistere" diciamo. la funzione implicita dipende da una sola variabile non da due quindi non serve l'hessiana. devi eventualmente calcolare la derivata seconda (esiste una formula oppure derivi la derivata prima secondo la derivata di funzione composta poichè anche y dipende dalla x)
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