Teorema del Differenziale Totale e continuità derivate parziali

[leonardoantonio.89]

Ciao a tutti, Lunedì ho l'esame scritto di Analisi II e c'è un punto che proprio non riesco a chiarire.

So come studiare la continuità, derivabilità e differenziabilità di una funzione in 2 variabili con le definizioni ma vorrei imparare anche come usare il Teorema del Differenziale Totale. La definizione del Teorema è la seguente:

TEOREMA DEL DIFFERENZIALE TOTALE: Se la funzione ammette derivate parziali continue in un intorno di \(\displaystyle (x_0, y_0) \) essa è differenziabile in quel punto.

Ora, il problema è che non so come verificare la continuità delle derivate parziali così come dice il Teorema.

Se il Dominio della derivata parziale coincide con quello della funzione allora potrei dire che la derivata parziale è continua?

[vict85]

Lo devi fare come per ogni altra funzione. Spesso è immediato in quando hai a che fare con composizioni di funzioni continue.

[leonardoantonio.89]

grazie della risposta vict85. Cioè se ho queste funzioni (semplicissimi esempi):

\(\displaystyle \left\{x^2+y^2,x y\right\} \)

so che sono funzioni continue e derivabili su tutto il loro dominio, ovvero \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \), quindi basta asserire ciò che posso tranquillamente usare il TDT.

Però sono ancora molto confuso su questo argomento. Se non chiedo troppo, potresti farmi qualche esempio su una funzione in cui è necessario procedere alla verifica della continuità delle derivate parziali?

[leonardoantonio.89]

allora, sono stato preso un pò dal panico prima, chiedo scusa

ho capito solo adesso quello che voleva dire vict85

devo controllare la continuità delle derivate parziali su tutto il dominio e se ci sono punti problematici o dubbiosi devo procedere al calcolo del limite in due variabili come per le funzioni.

Ora avrei solo due dubbi:

1) Devo confrontare il dominio della derivata con quello della funzione tutte le volte che devo verificarne la continuità o basta guardare al dominio della derivata parziale, osservare se ci sono punti critici e procedere a verificarne la continuità? (es. se trovo un punto critico nella derivata parziale basta procedere con la verifica della continuità?)

2) Quando verifico la continuità della derivata parziale per (x,y) -> (x0, y0), il limite deve essere uguale alla valutazione della derivata nel punto giusto?

magari sto scrivendo un mucchio di castronerie, sarà che sono solo agitato... qualcuno può lanciarmi un'ancora di certezza?