Teorema del confronto con integrali, come capire se g(x) è minore o maggiore di f(x)
Salve,
sto cercando di capire come applicare il teorema del confronto per calcolare gli integrali di funzioni positive, apprezzerei se qualcuno potesse aiutarmi con esempi o spiegazioni il più informali possibili. Davvero, più "terra terra" riuscite a spiegare meglio è!
Da quel che ho capito:
mi viene chiesto se un integrale definito converge o diverge.
Anziché calcolare una primitiva dell'integranda f(x) e svolgere i calcoli successivi, posso utilizzare il teorema del confronto, se gli estremi di integrazione sono $a > 0$ e $+ infty$, cioè un integrale del tipo $\int_a^inftyf(x) dx$
Esempio:
$\int_4^infty(1+cos^2(x))/(sqrt(x)(3-sin^4(x)))dx$
so che $\int_a^infty 1/x^n dx$ converge se $n > 1$ e diverge se $n<=1$
so che se $0 <= g(x) <= f(x)$ per $x in [a, +infty[$:
se $\int_a^inftyf(x) dx$ converge, allora $\int_a^inftyg(x) dx$ converge
se $\int_a^inftyg(x) dx$ diverge, allora $\int_a^inftyf(x) dx$ diverge
Per sapere se l'integrale converge o diverge, senza fare conti, devo confrontare l'integranda con una funzione minore o maggiore.
Per capire come si comporta l'integranda a $+ infty$, imposto il calcolo del limite $\lim_{x \to \infty}f(x)$ e - se $f(x)$ è continua- utilizzo il metodo della sostituzione per vedere quale funzione nell'integranda va a $infty$ più velocemente e quale funzione invece si annulla.
Esempio:
$\int_4^infty(1+cos^2(x))/(sqrt(x)(3-sin^4(x)))dx$
$\lim_{x \to \infty}(1+cos^2(x))/(sqrt(x)(3-sin^4(x)))$ $=$
$[(1+cos^2(infty))/(sqrt(infty)(3-sin^4(infty))) = (1+[0,1])/(infty(3-[0,1))) = 1/(infty)$
Quindi la funzione $sqrt(x)$ ($= x^(1/2)$) al denominatore è quella predominante, perciò posso affermare che:
$\int_4^infty(1+cos^2(x))/(sqrt(x)(3-sin^4(x)))dx$ $~~$ $\int_4^infty1/x^(1/2)dx$ (che per praticità qui chiamo $h(x)$)
$n = 1/2$, $n < 1$ quindi $\int_4^infty 1/x^(1/2) dx$ diverge
Sempre se è tutto corretto, ora arriva il problema..
Come faccio a sapere se $h(x)$ è minore o maggiore dell'integranda $f(x)$?
Non posso fare lo studio di funzione di $f(x)$ per poterlo confrontare con il grafico di $h(x)$, perciò come si fa a capire se una funzione è più piccola o più grande rispetto ad un'altra senza i grafici?
Se sapessi che $1/x^(1/2) <= (1+cos^2(x))/(sqrt(x)(3-sin^4(x)))$ avrei risolto i problemi e saprei che grazie al teorema del confronto anche $f(x)$ diverge.
Vi ringrazio.
sto cercando di capire come applicare il teorema del confronto per calcolare gli integrali di funzioni positive, apprezzerei se qualcuno potesse aiutarmi con esempi o spiegazioni il più informali possibili. Davvero, più "terra terra" riuscite a spiegare meglio è!
Da quel che ho capito:
mi viene chiesto se un integrale definito converge o diverge.
Anziché calcolare una primitiva dell'integranda f(x) e svolgere i calcoli successivi, posso utilizzare il teorema del confronto, se gli estremi di integrazione sono $a > 0$ e $+ infty$, cioè un integrale del tipo $\int_a^inftyf(x) dx$
Esempio:
$\int_4^infty(1+cos^2(x))/(sqrt(x)(3-sin^4(x)))dx$
so che $\int_a^infty 1/x^n dx$ converge se $n > 1$ e diverge se $n<=1$
so che se $0 <= g(x) <= f(x)$ per $x in [a, +infty[$:
se $\int_a^inftyf(x) dx$ converge, allora $\int_a^inftyg(x) dx$ converge
se $\int_a^inftyg(x) dx$ diverge, allora $\int_a^inftyf(x) dx$ diverge
Per sapere se l'integrale converge o diverge, senza fare conti, devo confrontare l'integranda con una funzione minore o maggiore.
Per capire come si comporta l'integranda a $+ infty$, imposto il calcolo del limite $\lim_{x \to \infty}f(x)$ e - se $f(x)$ è continua- utilizzo il metodo della sostituzione per vedere quale funzione nell'integranda va a $infty$ più velocemente e quale funzione invece si annulla.
Esempio:
$\int_4^infty(1+cos^2(x))/(sqrt(x)(3-sin^4(x)))dx$
$\lim_{x \to \infty}(1+cos^2(x))/(sqrt(x)(3-sin^4(x)))$ $=$
$[(1+cos^2(infty))/(sqrt(infty)(3-sin^4(infty))) = (1+[0,1])/(infty(3-[0,1))) = 1/(infty)$
Quindi la funzione $sqrt(x)$ ($= x^(1/2)$) al denominatore è quella predominante, perciò posso affermare che:
$\int_4^infty(1+cos^2(x))/(sqrt(x)(3-sin^4(x)))dx$ $~~$ $\int_4^infty1/x^(1/2)dx$ (che per praticità qui chiamo $h(x)$)
$n = 1/2$, $n < 1$ quindi $\int_4^infty 1/x^(1/2) dx$ diverge
Sempre se è tutto corretto, ora arriva il problema..
Come faccio a sapere se $h(x)$ è minore o maggiore dell'integranda $f(x)$?
Non posso fare lo studio di funzione di $f(x)$ per poterlo confrontare con il grafico di $h(x)$, perciò come si fa a capire se una funzione è più piccola o più grande rispetto ad un'altra senza i grafici?
Se sapessi che $1/x^(1/2) <= (1+cos^2(x))/(sqrt(x)(3-sin^4(x)))$ avrei risolto i problemi e saprei che grazie al teorema del confronto anche $f(x)$ diverge.
Vi ringrazio.
Risposte
Ciao!
In realtà, puoi farlo con qualsiasi intervallo di integrazione.
Per il resto, stai facendo un miscuglio tra due criteri differenti. Quello di confronto "classico" usa delle disuguaglianze, mentre quello cosiddetto "di confronto asintotico" sfrutta il comportamento al limite del rapporto tra due funzioni integrande non negative. Qui puoi leggere qualcosa sul confronto asintotico.
Facciamo un esempio facile per capire il criterio del confronto classico. Considera:
$$\int_1^\infty \frac{1}{x^4+1} \text{d}x$$
Dato che $x \ge 1$, moltiplicando per $x$ (che è positivo, quindi si può moltiplicare mantenendo il verso delle disuguaglianze) hai che $x^2 \ge x$. Moltiplicando di nuovo per $x$, hai che $x^3 \ge x^2$. Moltiplicando ancora per $x$, hai che $x^4 \ge x^3$. Da queste disuguaglianze, deduciamo che $x^4 \ge x^2$. Perciò, $x^4+1 \ge x^2+1>0$ e, passando ai reciproci, è $\frac{1}{x^4+1} \le \frac{1}{x^2+1}$. Dato che $\frac{1}{x^4+1}$ e $\frac{1}{x^2+1}$ sono non negative per ogni $x \ge 1$, siamo nelle ipotesi del criterio del confronto classico e dato che:
$$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2+1} \text{d}x=\lim_{R \to \infty} \int_1^R \frac{1}{x^2+1} \text{d}x=\lim_{R \to \infty} [\arctan x]_1^R$$
$$=\lim_{R \to \infty} (\arctan R-\arctan 1)=\pi/2-\pi/4=\pi/4$$
Converge, puoi dedurre quindi che converge anche $\int_1^\infty \frac{1}{x^4+1}\text{d}x$.
Facciamo ora un altro esempio facile per capire il confronto asintotico. Considera:
$$\int_1^\infty \frac{1}{x^4+\sin^2 x} \text{d}x$$
Dato che $\frac{1}{x^4+\sin^2 x} \ge 0$ per ogni $x \ge 1$ perché il denominatore è somma di potenze pari, dato che $\frac{1}{x^4+1} \ge 0$ per ogni $x \ge 1$ e dato che:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^4+\sin^2 x}}{\frac{1}{x^4+1}}=\lim_{x \to \infty} \frac{x^4+1}{x^4+\sin^2 x}=\lim_{x \to \infty} \frac{x^4\left(1+\frac{1}{x^4}\right)}{x^4\left(1+\frac{\sin^2 x}{x^4}\right)}=\lim_{x \to \infty} \frac{1+\frac{1}{x^4}}{1+\frac{\sin^2 x}{x^4}}=1$$
Siamo nelle ipotesi del criterio del confronto asintotico, quindi gli integrali:
$$\int_1^\infty \frac{1}{x^4+\sin^2 x} \text{d}x$$
e
$$\int_1^\infty \frac{1}{x^4+1} \text{d}x$$
Hanno lo stesso carattere. Dato che abbiamo dimostrato prima col confronto classico che $\int_1^\infty \frac{1}{x^4+1} \text{d}x$ converge, per il criterio del confronto asintotico converge anche $\int_1^\infty \frac{1}{x^4+\sin^2 x} \text{d}x$.
Se hai dei dubbi su qualcosa che ho scritto o sul pdf del link che ti ho fornito, chiedi pure qui!
Comunque, fatti dire che questa notazione:
Per denotare che coseno e seno sono limitati tra $0$ e $1$, e quindi sono ininfluenti nel calcolo del limite, è inguardabile.
"Anna33":
posso utilizzare il teorema del confronto, se gli estremi di integrazione sono a>0 e +∞, cioè un integrale del tipo $\int_a^inftyf(x) dx$
In realtà, puoi farlo con qualsiasi intervallo di integrazione.
Per il resto, stai facendo un miscuglio tra due criteri differenti. Quello di confronto "classico" usa delle disuguaglianze, mentre quello cosiddetto "di confronto asintotico" sfrutta il comportamento al limite del rapporto tra due funzioni integrande non negative. Qui puoi leggere qualcosa sul confronto asintotico.
Facciamo un esempio facile per capire il criterio del confronto classico. Considera:
$$\int_1^\infty \frac{1}{x^4+1} \text{d}x$$
Dato che $x \ge 1$, moltiplicando per $x$ (che è positivo, quindi si può moltiplicare mantenendo il verso delle disuguaglianze) hai che $x^2 \ge x$. Moltiplicando di nuovo per $x$, hai che $x^3 \ge x^2$. Moltiplicando ancora per $x$, hai che $x^4 \ge x^3$. Da queste disuguaglianze, deduciamo che $x^4 \ge x^2$. Perciò, $x^4+1 \ge x^2+1>0$ e, passando ai reciproci, è $\frac{1}{x^4+1} \le \frac{1}{x^2+1}$. Dato che $\frac{1}{x^4+1}$ e $\frac{1}{x^2+1}$ sono non negative per ogni $x \ge 1$, siamo nelle ipotesi del criterio del confronto classico e dato che:
$$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2+1} \text{d}x=\lim_{R \to \infty} \int_1^R \frac{1}{x^2+1} \text{d}x=\lim_{R \to \infty} [\arctan x]_1^R$$
$$=\lim_{R \to \infty} (\arctan R-\arctan 1)=\pi/2-\pi/4=\pi/4$$
Converge, puoi dedurre quindi che converge anche $\int_1^\infty \frac{1}{x^4+1}\text{d}x$.
Facciamo ora un altro esempio facile per capire il confronto asintotico. Considera:
$$\int_1^\infty \frac{1}{x^4+\sin^2 x} \text{d}x$$
Dato che $\frac{1}{x^4+\sin^2 x} \ge 0$ per ogni $x \ge 1$ perché il denominatore è somma di potenze pari, dato che $\frac{1}{x^4+1} \ge 0$ per ogni $x \ge 1$ e dato che:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^4+\sin^2 x}}{\frac{1}{x^4+1}}=\lim_{x \to \infty} \frac{x^4+1}{x^4+\sin^2 x}=\lim_{x \to \infty} \frac{x^4\left(1+\frac{1}{x^4}\right)}{x^4\left(1+\frac{\sin^2 x}{x^4}\right)}=\lim_{x \to \infty} \frac{1+\frac{1}{x^4}}{1+\frac{\sin^2 x}{x^4}}=1$$
Siamo nelle ipotesi del criterio del confronto asintotico, quindi gli integrali:
$$\int_1^\infty \frac{1}{x^4+\sin^2 x} \text{d}x$$
e
$$\int_1^\infty \frac{1}{x^4+1} \text{d}x$$
Hanno lo stesso carattere. Dato che abbiamo dimostrato prima col confronto classico che $\int_1^\infty \frac{1}{x^4+1} \text{d}x$ converge, per il criterio del confronto asintotico converge anche $\int_1^\infty \frac{1}{x^4+\sin^2 x} \text{d}x$.
Se hai dei dubbi su qualcosa che ho scritto o sul pdf del link che ti ho fornito, chiedi pure qui!
Comunque, fatti dire che questa notazione:
"Anna33":
$\lim_{x \to \infty}(1+cos^2(x))/(sqrt(x)(3-sin^4(x)))=
[(1+cos^2(infty))/(sqrt(infty)(3-sin^4(infty))) = (1+[0,1])/(infty(3-[0,1))) = 1/(infty)$
Per denotare che coseno e seno sono limitati tra $0$ e $1$, e quindi sono ininfluenti nel calcolo del limite, è inguardabile.
Grazie Mephlip! Perdona la notazione ma non sapevo come esprimerlo...
Ora credo sia più chiara la distinzione tra i due criteri:
con il criterio di confronto classico calcolo l'integrale della funzione minore o maggiore dell'integranda
con il criterio del confronto asintotico calcolo il limite
avrei ancora un paio di dubbi:
in $x>=1$, l'1 si fa riferimento all'estremo di integrazione?
moltiplicando per $x$ la disequazione $x>=1$ e arrivando a $x^4 >= x^3$, come mai poi diventa $x^4>=x^2$?
Grazie ancora!
Ora credo sia più chiara la distinzione tra i due criteri:
con il criterio di confronto classico calcolo l'integrale della funzione minore o maggiore dell'integranda
con il criterio del confronto asintotico calcolo il limite
avrei ancora un paio di dubbi:
in $x>=1$, l'1 si fa riferimento all'estremo di integrazione?
moltiplicando per $x$ la disequazione $x>=1$ e arrivando a $x^4 >= x^3$, come mai poi diventa $x^4>=x^2$?
Grazie ancora!
Prego!
Sì, esatto: infatti, il criterio del confronto asintotico è estremamente potente, proprio perché riduce il tutto a trovare una funzione che sappiamo integrare/di cui conosciamo la convergenza dell'integrale e che abbia un opportuno limite del rapporto con la funzione integranda del nostro integrale di partenza.
Sì. L'intervallo di integrazione ti dice dove varia $x$, quindi bisogna riferirsi ad esso nel contesto dell'integrazione.
Se metti insieme tutte le disuguaglianze che ho scritto, giungi a $x^4 \ge x^3 \ge x^2 \ge x \ge 1$. Ciò implica che $x^4 \ge x^2$, perché basta che la leggi da sinistra a destra ignorando le disuguaglianze intermedie.
"Anna33":
con il criterio di confronto classico calcolo l'integrale della funzione minore o maggiore dell'integranda
con il criterio del confronto asintotico calcolo il limite
Sì, esatto: infatti, il criterio del confronto asintotico è estremamente potente, proprio perché riduce il tutto a trovare una funzione che sappiamo integrare/di cui conosciamo la convergenza dell'integrale e che abbia un opportuno limite del rapporto con la funzione integranda del nostro integrale di partenza.
"Anna33":
in x≥1, l'1 si fa riferimento all'estremo di integrazione?
Sì. L'intervallo di integrazione ti dice dove varia $x$, quindi bisogna riferirsi ad esso nel contesto dell'integrazione.
"Anna33":
moltiplicando per x la disequazione x≥1 e arrivando a x4≥x3, come mai poi diventa x4≥x2?
Se metti insieme tutte le disuguaglianze che ho scritto, giungi a $x^4 \ge x^3 \ge x^2 \ge x \ge 1$. Ciò implica che $x^4 \ge x^2$, perché basta che la leggi da sinistra a destra ignorando le disuguaglianze intermedie.
Grazie mille, tutto chiarissimo!
Ciao Anna33,
Per tornare al tuo esempio,
La disuguaglianza che hai scritto è falsa, ma non è necessario ricorrere al criterio del confronto asintotico perché invece nell'intervallo di integrazione indicato si ha:
$ 1/x \le (1+cos^2(x))/(sqrt(x)(3-sin^4(x))) \le 1/\sqrt{x} $
Sicché si ha:
$+\infty \le \int_4^{+\infty} (1+cos^2(x))/(sqrt(x)(3-sin^4(x)))\text{d}x \le +\infty $
Dunque in effetti l'integrale proposto è positivamente divergente.
Per tornare al tuo esempio,
"Anna33":
Se sapessi che $ 1/x^(1/2) <= (1+cos^2(x))/(sqrt(x)(3-sin^4(x))) $ avrei risolto i problemi
La disuguaglianza che hai scritto è falsa, ma non è necessario ricorrere al criterio del confronto asintotico perché invece nell'intervallo di integrazione indicato si ha:
$ 1/x \le (1+cos^2(x))/(sqrt(x)(3-sin^4(x))) \le 1/\sqrt{x} $
Sicché si ha:
$+\infty \le \int_4^{+\infty} (1+cos^2(x))/(sqrt(x)(3-sin^4(x)))\text{d}x \le +\infty $
Dunque in effetti l'integrale proposto è positivamente divergente.
Grazie, pilloeffe, per la tua risposta. Finalmente sto iniziando a capire come impostare le disuguaglianze, risolverle e utilizzarle con il criterio del confronto.
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