Teorema del confronto
Stavo cercando di dimostrare il teorema del confronto(o forse non si chiama così?) ma ad un certo punto mi blocco 
Siano \(f, g, h\) tre funzioni tali che \(\displaystyle (\forall x \in \mathbb{D}) . f(x) \leq g(x) \leq h(x)\) e \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = l_1\), \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} h(x) = l_3\).
Per definizione di limite sarà
Siano \(f, g, h\) tre funzioni tali che \(\displaystyle (\forall x \in \mathbb{D}) . f(x) \leq g(x) \leq h(x)\) e \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = l_1\), \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} h(x) = l_3\).
Per definizione di limite sarà
[*:2y7qbx6z]\(\exists \delta_1 > 0 \mid f\left((x_0 - \delta_1, x_0 + \delta_1)\right) \subset (l_1 - \epsilon, l_1 + \epsilon)\)[/*:m:2y7qbx6z]
[*:2y7qbx6z]\(\exists \delta_3 > 0 \mid h\left((x_0 - \delta_3, x_0 + \delta_3)\right) \subset (l_3 - \epsilon, l_3 + \epsilon)\)[/*:m:2y7qbx6z][/list:u:2y7qbx6z]
\(\delta = \min(\delta_1, \delta_3)\), allora per restrizione di dominio:
\((x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset (x_0 - \delta_1, x_0 - \delta_1) \Rightarrow\)
\(\Rightarrow f\left((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\right) \subset f\left((x_0 - \delta_1, x_0 + \delta_1)\right) \subset (l_1 - \epsilon, l_1 + \epsilon)\)
e similmente
\(h\left((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\right) \subset (l_3 - \epsilon, l_3 + \epsilon)\)
quindi
\((\forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)) . l_1 - \epsilon \leq f(x) \leq g(x) \leq h(x) \leq l_3 + \epsilon\)
\(g\left((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\right) \subset (l_1 - \epsilon, l_3 + \epsilon)\)
La mia domanda è:
da questo punto, è possibile dedurre \(\displaystyle l_1 \leq \lim_{x \to x_0} g(x) \leq l_3\)?
Mia intenzione era dimostrare che se \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} g(x) = l_2\) allora \((l_2 - \epsilon, l_2 + \epsilon) \subset (l_1 - \epsilon, l_3 + \epsilon)\) ma non riesco proprio ad uscirne(e ho l'impressione di girare intorno al vuoto).
Risposte
"hyoukarou":
Stavo cercando di dimostrare il teorema del confronto(o forse non si chiama così?) ma ad un certo punto mi blocco
Siano \( f, g, h \) tre funzioni tali che \( \displaystyle (\forall x \in \mathbb{D}) . f(x) \leq g(x) \leq h(x) \) e \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = l_1 \), \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} h(x) = l_3 \).
Per definizione di limite sarà
[*:34l4s9gi]\( \exists \delta_1 > 0 \mid f\left((x_0 - \delta_1, x_0 + \delta_1)\right) \subset (l_1 - \epsilon, l_1 + \epsilon) \)[/*:m:34l4s9gi]
[*:34l4s9gi]\( \exists \delta_3 > 0 \mid h\left((x_0 - \delta_3, x_0 + \delta_3)\right) \subset (l_3 - \epsilon, l_3 + \epsilon) \)[/*:m:34l4s9gi][/list:u:34l4s9gi]
\( \delta = \min(\delta_1, \delta_3) \), allora per restrizione di dominio:
\( (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset (x_0 - \delta_1, x_0 - \delta_1) \Rightarrow \)
\( \Rightarrow f\left((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\right) \subset f\left((x_0 - \delta_1, x_0 + \delta_1)\right) \subset (l_1 - \epsilon, l_1 + \epsilon) \)
e similmente
\( h\left((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\right) \subset (l_3 - \epsilon, l_3 + \epsilon) \)
quindi
\( (\forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)) . l_1 - \epsilon \leq f(x) \leq g(x) \leq h(x) \leq l_3 + \epsilon \)
\( g\left((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\right) \subset (l_1 - \epsilon, l_3 + \epsilon) \)
La mia domanda è:
da questo punto, è possibile dedurre \( \displaystyle l_1 \leq \lim_{x \to x_0} g(x) \leq l_3 \)?
No, a meno che tu non sappia già che \(g\) ha limite.
"hyoukarou":
Mia intenzione era dimostrare che se \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} g(x) = l_2 \) allora \( (l_2 - \epsilon, l_2 + \epsilon) \subset (l_1 - \epsilon, l_3 + \epsilon) \) ma non riesco proprio ad uscirne(e ho l'impressione di girare intorno al vuoto).
Non vedo cosa ti importi dell'intervallo \(]l_2-\varepsilon , l_2+\varepsilon[\)... Insomma, potresti pure farlo, ma a che pro?
"gugo82":
No, a meno che tu non sappia già che \(g\) ha limite.
Hai ragione, intendevo supponendo che il limite esista.
"gugo82":
Non vedo cosa ti importi dell'intervallo \(]l_2-\varepsilon , l_2+\varepsilon[\)... Insomma, potresti pure farlo, ma a che pro?
Era un modo equivalente di riscrivere quello sopra, dimostrata l'inclusione dovrebbe essere immediato che \(l_1 \leq l_2 \leq l_3\).
Hmm, se pensassi a tre successioni $(a_n)_(ninN),(b_n)_(ninN),(c_n)_(ninN)$, ed $linR$, tali che:
1) $AAninN$, $(a_n)_(ninN)≤(b_n)_(ninN)≤(c_n)_(ninN)$,
2) $(a_n)->l$, $(c_n)->l$,
Allora $EElim_(n ->∞) (b_n)= l$
Scelto $ε>0$ ad arbitrio, dalla definizione di limite segue che le seguenti disuguaglianze sono definitivamente vere:
$l−ε≤an ≤bn ≤cn ≤l+ε$
C.v.d.
1) $AAninN$, $(a_n)_(ninN)≤(b_n)_(ninN)≤(c_n)_(ninN)$,
2) $(a_n)->l$, $(c_n)->l$,
Allora $EElim_(n ->∞) (b_n)= l$
Scelto $ε>0$ ad arbitrio, dalla definizione di limite segue che le seguenti disuguaglianze sono definitivamente vere:
$l−ε≤an ≤bn ≤cn ≤l+ε$
C.v.d.
"iH8u":
Hmm, se pensassi a tre successioni $ (a_n)_(ninN),(b_n)_(ninN),(c_n)_(ninN) $, ed $ linR $, tali che:
1) $ AAninN $, $ (a_n)_(ninN)≤(b_n)_(ninN)≤(c_n)_(ninN) $,
2) $ (a_n)->l $, $ (c_n)->l $,
Allora $ EElim_(n ->∞) (b_n)= l $
Scelto $ ε>0 $ ad arbitrio, dalla definizione di limite segue che le seguenti disuguaglianze sono definitivamente vere:
$ l−ε≤an ≤bn ≤cn ≤l+ε $
C.v.d.
Il punto era dimostrare che \(l_1 \leq l_2 \leq l_3\) senza che \(l_1 = l_3\) e preferibilmente usando solo la definizione di limite.
"hyoukarou":
[quote="iH8u"]Hmm, se pensassi a tre successioni $ (a_n)_(ninN),(b_n)_(ninN),(c_n)_(ninN) $, ed $ linR $, tali che:
1) $ AAninN $, $ (a_n)_(ninN)≤(b_n)_(ninN)≤(c_n)_(ninN) $,
2) $ (a_n)->l $, $ (c_n)->l $,
Allora $ EElim_(n ->∞) (b_n)= l $
Scelto $ ε>0 $ ad arbitrio, dalla definizione di limite segue che le seguenti disuguaglianze sono definitivamente vere:
$ l−ε≤an ≤bn ≤cn ≤l+ε $
C.v.d.
Il punto era dimostrare che \(l_1 \leq l_2 \leq l_3\) senza che \(l_1 = l_3\) e preferibilmente usando solo la definizione di limite.[/quote]
beh, in tal caso, proccederei così:
$ (a_n)_(ninN),(b_n)_(ninN),(c_n)_(ninN) $
1) $ AAninN $, $ (a_n)_(ninN)≤(b_n)_(ninN)≤(c_n)_(ninN) $,
2) $ (a_n)->l_1 $, $ (c_n)->l_3 $,
(supponendo che $(b_n)_(ninN)$ ha limite ed esso è uguale a $l_2$)
(1) se $l_3=+oo$, allora è senz'altro vera perché ogni elemento di $bar(mathbb(R) )$ è minore o uguale a $+oo$;
(2) se $l_3<+oo$, allora per il th. della limitatezza, sappiamo che $(c_n)_(ninN)$ è sup. limitata, e pertanto dalle ipotesi segue che sono limitate anche $(a_n)_(ninN)$ e $(b_n)_(ninN)$, ed hanno anch'essi limite $<+oo$
(3) se $l_1=-oo$, allora il teorema è dimostrato, come la (1).
(4) se invece $l_1 in mathbb(R)$, allora $(c_n)_(ninN)$ è inf. limitata e per il th. della limitatezza, anche $(a_n)_(ninN)$ e $(b_n)_(ninN)$, quindi anche $l_3 in mathbb(R)$
Pertanto non ci rimane da eesaminare il caso in cui $l_1,l_2,l_3 in mathbb(R)$, e ragionando per assurdo: $l_1>=l_2>=l_3$,
dunque se $l_1>l_2>l_3$, allora consideriamo il numero reale $(l+m)/2$, tale che $l_1>(l+m)/2>l_3$, scegliendo ora un $ ε>0 $, sufficiente piccolo in modo che si abbia:
$l_1>l_1+ε>l_2+ε>(l+m)/2>l_2-ε>l_3-ε>l_3$, e senz'altro è chiaro che i termini della successione $(a_n)_(ninN)$ sono definitivamente maggiori di $l_1+ε>l_2+ε>(l+m)/2$, ed i termini della successione $(c_n)_(ninN)$ sono definitivamente minori di $(l+m)/2>l_2-ε>l_3-ε$, inoltre è ovvio che i termini della successione $(b_n)_(ninN)$ sono minori di $l_1>l_1+ε$ e maggiori di $l_3-ε>l_3$, pertanto si ha, $(a_n)_(ninN)>(b_n)_(ninN)>(c_n)_(ninN)$
Aspetterei comunque qualcuno di più esperto, anche io sono al primo anno, e non assicuro nulla
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