Teorema del campionamento (di Shannon)
Ciao a tutti, sto cercando di capire il "famoso" teorema del campionamento (o teorema di Shannon) ma dagli appunti del mio prof. la dimostrazione non riesco a capirla....
Vi metto le immagini:
Questo è l'enunciato e un rigo di dimostrazione:
Questa è un immagine che ci fa capire le funzioni in questione:
Ed ecco la dimostrazione della quale io non riesco a capire:
1)Perchè quando introduce F[size=75]h[/size] l'integrale è tra 0 e w[size=75]s[/size] ???
2)Perchè (sempre nella scrittura di F[size=75]h[/size]) c'è e^(jhtw), io mi trovo con e^(-jhtw) ???
3)Per quale proprietà (sempre nella scrittura di F[size=75]h[/size]) posso scambiare il segno di integrale con quello di somma ???
Vi ringrazio davvero tanto...ho provato a capire....ma davvero alcune cose non ci riesco proprio....
GRAZIE....
Vi metto le immagini:
Questo è l'enunciato e un rigo di dimostrazione:
Questa è un immagine che ci fa capire le funzioni in questione:
Ed ecco la dimostrazione della quale io non riesco a capire:
1)Perchè quando introduce F[size=75]h[/size] l'integrale è tra 0 e w[size=75]s[/size] ???
2)Perchè (sempre nella scrittura di F[size=75]h[/size]) c'è e^(jhtw), io mi trovo con e^(-jhtw) ???
3)Per quale proprietà (sempre nella scrittura di F[size=75]h[/size]) posso scambiare il segno di integrale con quello di somma ???
Vi ringrazio davvero tanto...ho provato a capire....ma davvero alcune cose non ci riesco proprio....
GRAZIE....
Risposte
"f.schiano":
1)Perchè quando introduce F[size=75]h[/size] l'integrale è tra 0 e w[size=75]s[/size] ???
2)Perchè (sempre nella scrittura di F[size=75]h[/size]) c'è e^(jhtw), io mi trovo con e^(-jhtw) ???
Perché sta calcolando i coefficienti di Fourier.
3)Per quale proprietà (sempre nella scrittura di F[size=75]h[/size]) posso scambiare il segno di integrale con quello di somma ???
Per la linearità dell'integrale.
"luca.barletta":Per la verità bisognerebbe mostrare anche che sussiste qualche teorema di passaggio al limite, ma spesso su questo punto nei testi applicati si chiude un occhio.
Per la linearità dell'integrale.
Con la risposta alla domanda numero 3...diciamo che mi trovo...però alle prime due non riesco ad arrivare....i coefficienti di Fourier non si calcolano in un intervallo che va da -w[size=75]s[/size] a w[size=75]s[/size]???(forse la funzione in questione è pari???)
p.s. Un'altra domanda:
perchè alla fine...della definizione di F[size=75]h[/size] elimina e^(jhTkw[size=75]s[/size]) lasciando soltanto: F(j*sigma)*e^(jhT*sigma) ???
GRAZIE ancora!!!
p.s. Un'altra domanda:
perchè alla fine...della definizione di F[size=75]h[/size] elimina e^(jhTkw[size=75]s[/size]) lasciando soltanto: F(j*sigma)*e^(jhT*sigma) ???
GRAZIE ancora!!!
"f.schiano":
Con la risposta alla domanda numero 3...diciamo che mi trovo...però alle prime due non riesco ad arrivare....i coefficienti di Fourier non si calcolano in un intervallo che va da -w[size=75]s[/size] a w[size=75]s[/size]???(forse la funzione in questione è pari???)
Il calcolo dei coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier si calcola come integrale sul periodo, essendo [tex]$\tilde F_s$[/tex] periodica di periodo [tex]$\omega_s$[/tex], l'integrale si considera ad esempio su [tex]$[0,\omega_s]$[/tex]
Per la seconda domanda, essendo [tex]$\omega_s = \frac{2\pi}{T}$[/tex] allora [tex]$e^{j h T k \omega_s} = e^{j h \frac{2\pi}{\omega_s} k \omega_s} = e^{j2\pi k h} = 1$[/tex] poichè [tex]$k,h \in \mathbb{Z}$[/tex]
"Ska":
[quote="f.schiano"]Con la risposta alla domanda numero 3...diciamo che mi trovo...però alle prime due non riesco ad arrivare....i coefficienti di Fourier non si calcolano in un intervallo che va da -w[size=75]s[/size] a w[size=75]s[/size]???(forse la funzione in questione è pari???)
Il calcolo dei coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier si calcola come integrale sul periodo, essendo [tex]$\tilde F_s$[/tex] periodica di periodo [tex]$\omega_s$[/tex], l'integrale si considera ad esempio su [tex]$[0,\omega_s]$[/tex]
Per la seconda domanda, essendo [tex]$\omega_s = \frac{2\pi}{T}$[/tex] allora [tex]$e^{j h T k \omega_s} = e^{j h \frac{2\pi}{\omega_s} k \omega_s} = e^{j2\pi k h} = 1$[/tex] poichè [tex]$k,h \in \mathbb{Z}$[/tex][/quote]
Grazie mille....per la risposta...ma io solitamente se una funzione era periodica di periodo T....l'integrale lo calcolavo tra -T e T....Sbagliavo???
GRAZIE
Data [tex]$f$[/tex] T-periodica,
[tex]$\gamma_n = \frac{1}{T} \int_{u}^{u+T} f(t) e^{-j 2\pi \tfrac{n}{T} t} dt$[/tex]
[tex]$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \gamma_n e^{j2\pi \tfrac{n}{T} t}$[/tex]
[tex]$\gamma_n = \frac{1}{T} \int_{u}^{u+T} f(t) e^{-j 2\pi \tfrac{n}{T} t} dt$[/tex]
[tex]$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \gamma_n e^{j2\pi \tfrac{n}{T} t}$[/tex]
Grazie....scusa per l'ignoranza....
Scusate se sono di nuovo qui....ma sempre nella dimostrazione quando fa il cambiamento di variabile di integrazione da : dw->d(sigma)
Come si fa???
Grazie....ancora...!!!
Come si fa???
Grazie....ancora...!!!
Viene posto [tex]$\sigma = \omega -k\omega_s$[/tex], essendo [tex]$k\omega_s$[/tex] costante, risulta [tex]$d\sigma = d\omega$[/tex]
sìsì....questo l'ho capito....più che altro non capivo il cambiamento degli estremi di integrazione, è semplicemente un aggiunta di (-k*w[size=75]s[/size]) o c'entra il cambiamento di variabile??? e quindi la sigma??
GRAZIE
GRAZIE
Gli estremi di integrazione rispetto a [tex]$\omega$[/tex] sono [tex]$0$[/tex] e [tex]$w_s$[/tex], dunque con il cambio di variabile [tex]$\sigma = \omega -k\omega_s$[/tex] si ha che se [tex]$\omega = 0$[/tex] allora [tex]$\sigma = -k\omega_s$[/tex], se [tex]$\omega=\omega_s$[/tex] allora [tex]$\sigma=\omega_s - k\omega_s = - (k-1)\omega_s$[/tex], dunque gli estremi di integrazione rispetto a [tex]$\sigma$[/tex] sono [tex]$-k\omega_s$[/tex] e [tex]$-(k-1)\omega_s$[/tex].
Grazie....
....mi sento stupido ....ufff.....
sono sempre più devoto a questo forum....
....mi sento stupido ....ufff.....sono sempre più devoto a questo forum....
La cosa positiva è che cerco di capire tutti i passaggi.... ogni virgola.... ....altrimenti non vado avanti....
....altrimenti non vado avanti....
Purtroppo ho un'altra domanda....alla quale non so se la mia risposta è giusta...ma vorrei esserne sicuro...
l'ultimo passaggio per il calcolo di F[size=75]h[/size] consiste nell'eliminare $e^(jhTkws)$ (la "s" non riesco a farla piccola...ma è il pedice della $omega$ ),
questo si può fare perchè $ F(j*sigma) $ è = 0 fuori l'intervallo (-w0;w0) , dato che $ ws>=2w0 ???
E' questo il motivo????
GRAZIE....
l'ultimo passaggio per il calcolo di F[size=75]h[/size] consiste nell'eliminare $e^(jhTkws)$ (la "s" non riesco a farla piccola...ma è il pedice della $omega$ ),
questo si può fare perchè $ F(j*sigma) $ è = 0 fuori l'intervallo (-w0;w0) , dato che $ ws>=2w0 ???
E' questo il motivo????
GRAZIE....
essendo [tex]$\omega_s = \frac{2\pi}{T}$[/tex] allora [tex]$e^{j h T k \omega_s} = e^{j h \frac{2\pi}{\omega_s} k \omega_s} = e^{j2\pi k h} = 1$[/tex] poichè [tex]$k,h \in \mathbb{Z}$[/tex]
Scusami... 
Però capisci anche che questo libro è scritto molto ma molto "sintetico"...
Però capisci anche che questo libro è scritto molto ma molto "sintetico"...
Due cose.
Uno, giusto per curiosità, che libro usi?
Due, occhio agli "up" fatti a casaccio: al prossimo ti blocco il thread (cfr. regolamento, 3.4).
Uno, giusto per curiosità, che libro usi?
Due, occhio agli "up" fatti a casaccio: al prossimo ti blocco il thread (cfr. regolamento, 3.4).
Non è un libro ma sono delle dispense di "Sistemi di Controllo Digitale" di un ricercatore della Federico II...(meglio non fare nomi)
In ogni caso...i miei non volevano essere degli up e questo che sto per scrivere, non so se sia un up o meno ma avevo voglia di scriverlo:
(Sia chiaro che questo che sto per scrivere non vuole essere un'opera di "lecchinaggio" perchè non ne avrei motivo in quanto già così siete davvero fantastici, forse mi chiuderete il thread perchè non dovrei scrivere cose che non sono attinenti alla mia richiesta però sentivo di volerle scrivere)
Volevo dire che vedere persone che non mi conoscono che mi danno risposte su risposte senza conoscermi e senza ricevere nulla in cambio per me è una cosa fantastica, pensate che ho chiamato mia madre (che non capisce niente di matematica) per farle vedere quante risposte mi avete dato ai miei quesiti...e con quale celerità, una cosa incredibile, per me...Mi fa pensare che nel nostro paese e in generale in tutto il mondo ci sia ancora qualcosa di buono, davvero ogni risposta che leggo la leggo e penso: "Wow...che bello loro condividono la conoscenza solo per il gusto e per il piacere di farlo....aiutano una persona in difficoltà senza chiedere niente....ripeto SIETE FANTASTICI"
La cosa che mi dispiace è non potere (ancora) essere d'aiuto a qualcuno come lo siete voi per me....Spero che un giorno questa condizione cambierà e che anche io come voi riuscirò a dare un aiuto a una persona in difficoltà...
Con immenso rispetto ....e con grande ammirazione...
Fabrizio!
In ogni caso...i miei non volevano essere degli up e questo che sto per scrivere, non so se sia un up o meno ma avevo voglia di scriverlo:
(Sia chiaro che questo che sto per scrivere non vuole essere un'opera di "lecchinaggio" perchè non ne avrei motivo in quanto già così siete davvero fantastici, forse mi chiuderete il thread perchè non dovrei scrivere cose che non sono attinenti alla mia richiesta però sentivo di volerle scrivere)
Volevo dire che vedere persone che non mi conoscono che mi danno risposte su risposte senza conoscermi e senza ricevere nulla in cambio per me è una cosa fantastica, pensate che ho chiamato mia madre (che non capisce niente di matematica) per farle vedere quante risposte mi avete dato ai miei quesiti...e con quale celerità, una cosa incredibile, per me...Mi fa pensare che nel nostro paese e in generale in tutto il mondo ci sia ancora qualcosa di buono, davvero ogni risposta che leggo la leggo e penso: "Wow...che bello loro condividono la conoscenza solo per il gusto e per il piacere di farlo....aiutano una persona in difficoltà senza chiedere niente....ripeto SIETE FANTASTICI"
La cosa che mi dispiace è non potere (ancora) essere d'aiuto a qualcuno come lo siete voi per me....Spero che un giorno questa condizione cambierà e che anche io come voi riuscirò a dare un aiuto a una persona in difficoltà...
Con immenso rispetto ....e con grande ammirazione...
Fabrizio!
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