Teorema dei residui - un errore nella dimostrazione?
Sui testi che ho consultato, il teorema dei residui viene fatto discendere da considerazioni geometriche (si introduce una relazione di equivalenza tra curve chiuse, detta da alcuni omologia, poi ci si procura il Teorema Globale di Cauchy e a quel punto il teorema dei residui viene fuori automaticamente).
Invece nel corso di Analisi Complessa che ho frequentato all'università, il professore ha seguito una via più breve. Senza fare accenni a omologia e teorema globale di Cauchy, lui formula questa proposizione:
Proposizione:
Sia $Omega$ un aperto semplicemente connesso, $S={z_1,...,z_n}$ un suo sottoinsieme finito. Sia $f$ olomorfa in $Omega-S$ e sia $gamma$ una curva chiusa in $Omega-S$. Allora $int_gammaf=2piisum_{j=1}^n"Ind"_gamma(z_j)"Res"(f;z_j)$. [size=75][1][/size]
Ma la dimostrazione non mi convince. Procede così:
Dimostrazione
Per ogni $z_j$, sviluppiamo $f$ in serie di Laurent: $f(z)=sum_{n=1}^inftyc_(-n)^((j))(z-z_j)^(-n)+sum_{n=0}^inftyc_n^((j))(z-z_j)^n$ (*).
Poniamo allora $f_j(z)=sum_{n=1}^inftyc_(-n)^((j))(z-z_j)^(-n)$, la parte singolare in $z_j$.
Questo vuol dire che la funzione $f-f_j$ ha in $z_j$ una singolarità eliminabile.
Allora consideriamo $g=f-f_1-...-f_n$: questa funzione è olomorfa in tutto l'aperto $Omega$ a meno di singolarità eliminabili. (Questo non mi convince). Concludiamo che l'integrale di $g$ fa zero, quindi l'integrale di $f$ è la somma degli integrali delle $f_j$ ovvero la tesi. /////
La mia perplessità nasce al punto (*). Infatti il professore si comporta come se lo sviluppo che ha ottenuto lì fosse valido in tutto l'aperto $Omega$, mentre in realtà è vero solo in un intorno di $z_j$. Quindi le funzioni $f_j$ non sono definite ovunque, ma solo localmente, e questo secondo me rende non ben definita la funzione $g=f-f_1-...-f_n$.
Mi sbaglio? Come potrei superare questo ostacolo?
_____________
[1]: (Dove il $"Res"$iduo di una $f$ in $z_j$ è il primo coefficiente con grado negativo dello sviluppo in serie di Laurent di centro $z_j$).
Invece nel corso di Analisi Complessa che ho frequentato all'università, il professore ha seguito una via più breve. Senza fare accenni a omologia e teorema globale di Cauchy, lui formula questa proposizione:
Proposizione:
Sia $Omega$ un aperto semplicemente connesso, $S={z_1,...,z_n}$ un suo sottoinsieme finito. Sia $f$ olomorfa in $Omega-S$ e sia $gamma$ una curva chiusa in $Omega-S$. Allora $int_gammaf=2piisum_{j=1}^n"Ind"_gamma(z_j)"Res"(f;z_j)$. [size=75][1][/size]
Ma la dimostrazione non mi convince. Procede così:
Dimostrazione
Per ogni $z_j$, sviluppiamo $f$ in serie di Laurent: $f(z)=sum_{n=1}^inftyc_(-n)^((j))(z-z_j)^(-n)+sum_{n=0}^inftyc_n^((j))(z-z_j)^n$ (*).
Poniamo allora $f_j(z)=sum_{n=1}^inftyc_(-n)^((j))(z-z_j)^(-n)$, la parte singolare in $z_j$.
Questo vuol dire che la funzione $f-f_j$ ha in $z_j$ una singolarità eliminabile.
Allora consideriamo $g=f-f_1-...-f_n$: questa funzione è olomorfa in tutto l'aperto $Omega$ a meno di singolarità eliminabili. (Questo non mi convince). Concludiamo che l'integrale di $g$ fa zero, quindi l'integrale di $f$ è la somma degli integrali delle $f_j$ ovvero la tesi. /////
La mia perplessità nasce al punto (*). Infatti il professore si comporta come se lo sviluppo che ha ottenuto lì fosse valido in tutto l'aperto $Omega$, mentre in realtà è vero solo in un intorno di $z_j$. Quindi le funzioni $f_j$ non sono definite ovunque, ma solo localmente, e questo secondo me rende non ben definita la funzione $g=f-f_1-...-f_n$.
Mi sbaglio? Come potrei superare questo ostacolo?
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[1]: (Dove il $"Res"$iduo di una $f$ in $z_j$ è il primo coefficiente con grado negativo dello sviluppo in serie di Laurent di centro $z_j$).
Risposte
non vorrei dir stupidaggini ma una volta sviluppata in serie non è vero che la serie converge alla funzione in tutto $Omega$ questo non esclude il fatto che tu possa calcolare la serie in ogni punto e quindi che le $f_j$ siano definite ovunque. ha senso?
Rispondo forse un po' frettolosamente - d'altra parte quando vedo una domanda posta da te mi viene voglia di rispondere 
- ma ti proibisco di adularmi troppo 
Mi pare che il discorso del prof. stia in piedi. In Effetti ognuna delle $f_j$ e' definita in $CC\setminus{z_j}$ quindi la funzione $g$ e' definita su $\Omega\setminus{z_1....,z_n}$
Poi se nell'intorno di $z_j$ fai lo sviluppo di Laurent non trovi parte singolare, ergo $g$ e' prolungabile a una funzione olomorfa su tutto $\Omega$.
Pero' il punto cruciale del discorso e' il fatto che $\int_\gamma g=0$ e questo come l'ha ricavato??
EDIT ho visto che rubik mi ha preceduto dicendo piu' o meno la stessa cosa.
- ma ti proibisco di adularmi troppo Mi pare che il discorso del prof. stia in piedi. In Effetti ognuna delle $f_j$ e' definita in $CC\setminus{z_j}$ quindi la funzione $g$ e' definita su $\Omega\setminus{z_1....,z_n}$
Poi se nell'intorno di $z_j$ fai lo sviluppo di Laurent non trovi parte singolare, ergo $g$ e' prolungabile a una funzione olomorfa su tutto $\Omega$.
Pero' il punto cruciale del discorso e' il fatto che $\int_\gamma g=0$ e questo come l'ha ricavato??
EDIT ho visto che rubik mi ha preceduto dicendo piu' o meno la stessa cosa.
Eh beh in effetti avete ragione. Quello che converge solo in un disco è la parte regolare, invece la parte singolare convergerà in un disco "ribaltato"...quindi in tutto $CC$ meno un punto. Io mi stavo preoccupando perché, come dice rubik, non convergerà necessariamente alla funzione... Ma, pensandoci meglio, a noi che ce ne frega?
L'importante è che la funzione $g$ sia definita e olomorfa su tutto $Omega$ e questo è vero.
Poi, per rispondere a V.G. : Per assicurare che l'integrale di $g$ faccia zero, abbiamo supposto nelle ipotesi che $Omega$ fosse semplicemente connesso. Possiamo pure indebolire l'ipotesi e supporre che $gamma$ sia omotopa ad un punto. Siccome $g$ è olomorfa, integrandola su una curva di questo tipo otterremo inevitabilmente zero.
Evviva! Temevo già di dovermi passare una nottata su questo teorema, e invece ho già risolto. Mi avete fatto contento!!!
L'importante è che la funzione $g$ sia definita e olomorfa su tutto $Omega$ e questo è vero.
Poi, per rispondere a V.G. : Per assicurare che l'integrale di $g$ faccia zero, abbiamo supposto nelle ipotesi che $Omega$ fosse semplicemente connesso. Possiamo pure indebolire l'ipotesi e supporre che $gamma$ sia omotopa ad un punto. Siccome $g$ è olomorfa, integrandola su una curva di questo tipo otterremo inevitabilmente zero.
Evviva! Temevo già di dovermi passare una nottata su questo teorema, e invece ho già risolto. Mi avete fatto contento!!!
"dissonance":
Poi, per rispondere a V.G. : Per assicurare che l'integrale di $g$ faccia zero, abbiamo supposto nelle ipotesi che $Omega$ fosse semplicemente connesso. Possiamo pure indebolire l'ipotesi e supporre che $gamma$ sia omotopa ad un punto. Siccome $g$ è olomorfa, integrandola su una curva di questo tipo otterremo inevitabilmente zero.
Non ne dubitavo - ti volevo solo far notare che questa proprieta' non e' per nulla ovvia ed e' il punto chiave . quindi non c'e' da stupirsi se non si usa il teorema di Cauchy e le classi di omotopia ("bene o male" sono deducibili dalla proprieta' sopra - anche se forse non e' il giro piu' naturale)
@V.G. : Sì in effetti hai ragione sul fatto che non sia il giro più naturale. Ho letto superficialmente il Lang su questo argomento e devo dire che mi convince, anche se non ho il tempo di approfondire. Comunque, nel mio corso è stato dimostrato il teorema di Cauchy, in una formulazione che Lang (e anche altri, Rudin per esempio) definisce locale: gli integrali delle funzioni olomorfe sono invarianti per omotopia dei cammini.
Lang poi estende questo risultato sbarazzandosi (per le curve chiuse) dell'omotopia, e sostituendola con l'omologia che è una relazione più debole: in un aperto $Omega$, due curve chiuse sono omologhe se "si avvolgono lo stesso numero di volte intorno ai punti esterni ad $Omega$" (chiaramente la definizione formale passa attraverso l'indice di avvolgimento).
Questa relazione vale anche per catene ("somme" finite) di circuiti. A questo punto, il teorema globale di Cauchy ci dice che questa relazione è sufficiente: gli integrali delle funzioni olomorfe sono invarianti anche per omologia, non solo per omotopia.
E' quindi geometricamente evidente (ma bisogna dimostrare anche questo) che un circuito in un aperto $Omega$, con un numero finito di "buchi" è omologo ad una catena di circonferenze, centrata nei "buchi", contata ognuna tante volte quanto il numero di volte che il circuito si avvolge intorno al loro centro.
Combinando queste informazioni otteniamo il teorema dei residui. E' un approccio molto più lineare, su questo probabilmente saremo d'accordo. Ma è anche PARECCHIO più lungo!
Di sicuro il mio professore ha scelto una strada più breve per questioni di tempo. Come dargli torto: mi pare importante presentare i residui con un po' di anticipo, così poi si possono sfruttare per gli esercizi. Altrimenti c'è il rischio di lasciare tutto ad un livello solo teorico, che non mi sembra il massimo se si parla di analisi complessa.
Lang poi estende questo risultato sbarazzandosi (per le curve chiuse) dell'omotopia, e sostituendola con l'omologia che è una relazione più debole: in un aperto $Omega$, due curve chiuse sono omologhe se "si avvolgono lo stesso numero di volte intorno ai punti esterni ad $Omega$" (chiaramente la definizione formale passa attraverso l'indice di avvolgimento).
Questa relazione vale anche per catene ("somme" finite) di circuiti. A questo punto, il teorema globale di Cauchy ci dice che questa relazione è sufficiente: gli integrali delle funzioni olomorfe sono invarianti anche per omologia, non solo per omotopia.
E' quindi geometricamente evidente (ma bisogna dimostrare anche questo) che un circuito in un aperto $Omega$, con un numero finito di "buchi" è omologo ad una catena di circonferenze, centrata nei "buchi", contata ognuna tante volte quanto il numero di volte che il circuito si avvolge intorno al loro centro.
Combinando queste informazioni otteniamo il teorema dei residui. E' un approccio molto più lineare, su questo probabilmente saremo d'accordo. Ma è anche PARECCHIO più lungo!
Di sicuro il mio professore ha scelto una strada più breve per questioni di tempo. Come dargli torto: mi pare importante presentare i residui con un po' di anticipo, così poi si possono sfruttare per gli esercizi. Altrimenti c'è il rischio di lasciare tutto ad un livello solo teorico, che non mi sembra il massimo se si parla di analisi complessa.
@dissonance
Sono perfettamente d'accordo col tuo prof. Per quasi tutto quello che serve l'omotopia e' piu' che sufficiente e la dimostrazione dell'invarianza per cammini omotopi e
tutt'altro che elementare (anche se le idee di base sono abbastanza semplici). Non avevo mai inteso la locuzione "Teorema di Cauchy locale" (deve essere un gergo dei geometri)
e mi colpisce un po' perche' non capisco dove sia la "localita' " - comunque e' il teorema di base per l'analisi complessa. Va beh si impara sempre qualcosa.
Sono perfettamente d'accordo col tuo prof. Per quasi tutto quello che serve l'omotopia e' piu' che sufficiente e la dimostrazione dell'invarianza per cammini omotopi e
tutt'altro che elementare (anche se le idee di base sono abbastanza semplici). Non avevo mai inteso la locuzione "Teorema di Cauchy locale" (deve essere un gergo dei geometri)
e mi colpisce un po' perche' non capisco dove sia la "localita' " - comunque e' il teorema di base per l'analisi complessa. Va beh si impara sempre qualcosa.
"ViciousGoblin":
Non avevo mai inteso la locuzione "Teorema di Cauchy locale" (deve essere un gergo dei geometri)
e mi colpisce un po' perche' non capisco dove sia la "localita' " - comunque e' il teorema di base per l'analisi complessa. Va beh si impara sempre qualcosa.
Questa storia della dicitura "locale" non riesci a capirla per il motivo molto semplice che ho fatto confusione
... infatti il testo di Lang fa riferimento al teorema di Cauchy in due forme: la "homotopy form" e la "global form" che è quella estesa alle catene omologhe, e non solo ai circuiti omotopi.La dicitura "Local Cauchy Theorem" viene da Rudin (Real and complex analysis)...ed è "local" perché lui segue un percorso che lo porta a dimostrare il teorema prima sui dischi. Successivamente estende tutto direttamente alla versione per catene omologhe, cioè al caso più generale possibile, che anche lui chiama "Global Cauchy Theorem".
Non riesco ancora a capire il perché dell'aggettivo "global" ma il motivo di questo è ovvio: io non ho letto questi libri di cui parlo, se non superficialmente
.
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