Teorema dei residui e discontinuità eliminabili

[gygabyte017]

Salve a tutti, ho un dubbio: se ho una funzione olomorfa che ha una discontinuità eliminabile, cosa posso dire del suo integrale lungo una curva? Non si può più applicare il teorema dei residui?

Ad esempio, $int_(Gamma_R) sinz / z = ?$ visto che $res_0 sinz / z = 0$ (con $Gamma_R$ per esempio una circonferenza di centro $0$ e raggio $R>0$)

Grazie

[dissonance]

Beh, quanto fa quell'integrale? Se c'è solo una singolarità eliminabile, la funzione integranda "è" olomorfa. Quindi, anche senza residui, quell'integrale lo sai subito quanto fa: ricordati del teorema di Cauchy.

[gygabyte017]

(dovrebbe fare $pi$). Ma il teorema di Cauchy (http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_integrale_di_Cauchy no?) non vale solo se il dominio è semplicemente connesso? In questo caso non c'è un buco in $0$ (anche se eliminabile)?

Edit: un attimo che mi sa che mi sto confondendo...

[dissonance]

"gygabyte017":(dovrebbe fare $pi$)

??? Ti dico la verità, non tocco l'analisi complessa da un po'. Ma direi che quell'integrale fa $0$. Perché dici che non è così?

[Aethelmyth]

Il teorema integrale di Cauchy vale anche per funzioni olomorfe in aperti connessi con un numero finito di discontinuità eliminabili, come quella del tuo caso.

Mi viene in mente, se invece considerassimo $int_(-oo)^(oo) sinx/x dx$ si potrebbe applicare il teorema dei residui?

[gygabyte017]

"Aethelmyth":Il teorema integrale di Cauchy vale anche per funzioni olomorfe in aperti connessi con un numero finito di discontinuità eliminabili, come quella del tuo caso.

Mi viene in mente, se invece considerassimo $int_(-oo)^(oo) sinx/x dx$ si potrebbe applicare il teorema dei residui?

E' esattamente questo l'integrale da calcolare, che fa $pi$ scusate mi ero confuso...
Quindi, si può applicare o no?

Rigrazie!

[baldo891]

se vuo calcolare questo integrale devi costruire una semicirconferenza attorno l'origine poichè quando passi in campo complesso la funzione che si trova dentro l'integrale diventa $e^(iz)/z$ l'origine per questa funzione non è più una singolarità eliminabile bensì un polo, quindi devi applicare il teorema di cauchy(sul cammino chiuso ed il risultato è zero),poi dividi l'integrale in quattro integrali la cui somma è zero.then utilizzi il lemma di arco di cerchio picccolo(sul cerchio piccolo ) e poi il lemma di jordan(sul cerchio grande).

[Aethelmyth]

"baldo89":quando passi in campo complesso la funzione che si trova dentro l'integrale diventa $e^(iz)/z$

Questa non l'ho capita, intendi che bisogna considerare quella funzione invece di $(e^(iz)-e^(-iz))/(2iz)$?

[baldo891]

spesso si utilizza con le funzioni trigonometriche la sostituzione $sin(z)=(e^(iz).e^(-iz))/(2i)$ tuttavia in alcuni casi quando hai funzioni pari risulta più semplice
mettere al posto del seno $e^(iz)$

[Aethelmyth]

Si d'accordo, solo che non penso sia chiaro dire "diventa"; semplicemente si considera $e^(iz)=cos(z)+isin(z)$ poiché $cos(x)/x$ è dispari quindi non compare nell'integrale a conti fatti.

[baldo891]

esattamente