Teorema dei Residui - Calcolo Integrale
Salve a tutti!
L'esercizio in questione è il seguente:
Calcolare l'integrale:
[tex]$\int_{\gamma} \frac{\sinh(z)}{z+z^3} \ dz$[/tex]
Dove [tex]\gamma[/tex] è la circonferenza di raggio [tex]2[/tex], centrata in [tex]z=0[/tex] e percorsa una sola volta in senso antiorario.
Ora io ho pensato di sfruttare la relazione:
[tex]$\sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2}$[/tex]
E spezzare l'integrale in due più o meno simili; una volta individuati i poli e osservando che essi sono interni a [tex]\gamma[/tex], calcolando i rispettivi residui, giungo al risultato finale che è [tex]0[/tex], ed è giusto.
Ma volevo più che altro sapere da chi ne sa più di me, se c'erano modi più veloci per risolverlo senza fare troppi calcoli, se ho detto qualche cavolata, il Lemma di Jordan centrava qualcosa!? ecc.. grazie in anticipo
L'esercizio in questione è il seguente:
Calcolare l'integrale:
[tex]$\int_{\gamma} \frac{\sinh(z)}{z+z^3} \ dz$[/tex]
Dove [tex]\gamma[/tex] è la circonferenza di raggio [tex]2[/tex], centrata in [tex]z=0[/tex] e percorsa una sola volta in senso antiorario.
Ora io ho pensato di sfruttare la relazione:
[tex]$\sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2}$[/tex]
E spezzare l'integrale in due più o meno simili; una volta individuati i poli e osservando che essi sono interni a [tex]\gamma[/tex], calcolando i rispettivi residui, giungo al risultato finale che è [tex]0[/tex], ed è giusto.
Ma volevo più che altro sapere da chi ne sa più di me, se c'erano modi più veloci per risolverlo senza fare troppi calcoli, se ho detto qualche cavolata, il Lemma di Jordan centrava qualcosa!? ecc.. grazie in anticipo
Risposte
Non ho capito perché spezzi... non puoi individuare subito le singolarità (poli) e usare subito il th dei residui?
Sì in effetti hai ragione, quindi diciamo che calcolando i residui, mi risulta [tex]Res(f,0) = 0[/tex], pertanto tale integrale vale [tex]0[/tex], è giusto concludere così? scusa magari per le considerazioni/domande banali, ma sono i primi che faccio 
E' corretto.
Ciao,
attento però che di poli interni al cammino di integrazione ne hai 3, $z=0,i,-i$.
attento però che di poli interni al cammino di integrazione ne hai 3, $z=0,i,-i$.
Sì alle.fabbri , ne ho tenuto conto
Ah ok, perdona il commento inutile ma avevo capito male...
Tra l'altro, è inutile perdere tempo con [tex]$0$[/tex], che è una singolarità eliminabile in quanto:
[tex]$\lim_{z\to 0} \frac{\sinh z}{z(z^2+1)}=1$[/tex]
e la funzione è olomorfa intorno a [tex]$0$[/tex].
[tex]$\lim_{z\to 0} \frac{\sinh z}{z(z^2+1)}=1$[/tex]
e la funzione è olomorfa intorno a [tex]$0$[/tex].
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo