Teorema dei due carabinieri - dubbio con le risoluzioni analitiche
Ciao a tutti,
Studiando il calcolo dei limiti per le funzioni trigonometriche, mi trovo ad avere dei dubbi con la risoluzione analitica degli esercizi usando il teorema del carabiniere, quindi credo di non aver capito bene. Espongo i miei dubbi.
Data la definizione:
\(\displaystyle
\begin{aligned}
& g(x) \leq f(x) \leq h(x) \\
& \lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = L\\
\end{aligned}
\)
Non mi è sempre chiaro come determinare \(\displaystyle g(x) \) ed \(\displaystyle h(x) \).
Se non sbaglio, scelgo \(\displaystyle g(x) \) e \(\displaystyle h(x) \) come i valori rispettivamente minimo e massimo della funzione. Ma non ne sono sicuro..
Per esempio, non mi è chiaro come determinare \(\displaystyle g(x) \) ed \(\displaystyle h(x) \) per il calcolo di questo limite (me lo sono inventato adesso per esercizio personale):
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} {2 \cos^2(x) \over 6x} \)
Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà a capire ed ingranare con i ragionamenti, perché sono leggermente confuso.
Ciao
Studiando il calcolo dei limiti per le funzioni trigonometriche, mi trovo ad avere dei dubbi con la risoluzione analitica degli esercizi usando il teorema del carabiniere, quindi credo di non aver capito bene. Espongo i miei dubbi.
Data la definizione:
\(\displaystyle
\begin{aligned}
& g(x) \leq f(x) \leq h(x) \\
& \lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = L\\
\end{aligned}
\)
Non mi è sempre chiaro come determinare \(\displaystyle g(x) \) ed \(\displaystyle h(x) \).
Se non sbaglio, scelgo \(\displaystyle g(x) \) e \(\displaystyle h(x) \) come i valori rispettivamente minimo e massimo della funzione. Ma non ne sono sicuro..
Per esempio, non mi è chiaro come determinare \(\displaystyle g(x) \) ed \(\displaystyle h(x) \) per il calcolo di questo limite (me lo sono inventato adesso per esercizio personale):
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} {2 \cos^2(x) \over 6x} \)
Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà a capire ed ingranare con i ragionamenti, perché sono leggermente confuso.
Ciao
Risposte
Ciao simox2 
In realtà non basta considerare solo minimi e massimi delle funzioni. L'idea è la seguente: sapendo che le funzioni $g(x)$ e $h(x)$ in un punto assumono il comportamento descritto, ossia $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ è preservata, e che $\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = L$ allora si ha che $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$. Un esempio semplice che mi viene da proporti è: considera $g(x) = \ln x$, $f(x) = x - 1$ e $h(x) = x^2 - 1$ e poniamo $x_0 = 1$. Allora poiché $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ in $x_0 = 1$, $\lim_{x \to 1} g(x) = \lim_{x \to 1} h(x) = 0$ dunque anche $\lim_{x \to 1} f(x) = 0$ (come puoi facilmente verificare).
In realtà non basta considerare solo minimi e massimi delle funzioni. L'idea è la seguente: sapendo che le funzioni $g(x)$ e $h(x)$ in un punto assumono il comportamento descritto, ossia $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ è preservata, e che $\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = L$ allora si ha che $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$. Un esempio semplice che mi viene da proporti è: considera $g(x) = \ln x$, $f(x) = x - 1$ e $h(x) = x^2 - 1$ e poniamo $x_0 = 1$. Allora poiché $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ in $x_0 = 1$, $\lim_{x \to 1} g(x) = \lim_{x \to 1} h(x) = 0$ dunque anche $\lim_{x \to 1} f(x) = 0$ (come puoi facilmente verificare).
a parte il fatto che $g(x)leqf(x)leqh(x)$ deve valere in un intorno del punto di accumulazione,al più escluso proprio il punto di accumulazione (dove le funzioni potrebbero anche non esistere),sei sicuro che $ lim_(x -> 1)(x-1)=lim_(x -> 1) lnx=1 $ ? 
Ciao onlyReferee, ciao stormy.
Innanzitutto grazie per la partecipazione.
onlyReferee, il tuo approccio però conferma il fatto che
\( \displaystyle
\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = L = \lim_{x \to x_0} f(x)
\)
Anche se nel tuo esempio forse è più corretto cosi:
\(\displaystyle
\lim_{x \to 1} \, (x -1) = \lim_{x \to 1} \ln(x) = 0
\)
come giustamente fa notare stormy.
Però gli esercizi che sto affrontando sono impostati come quello discusso nel messaggio 1, ossia, si chiede di calcolare il limite:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} {2 \cos^2(x) \over 6x} \)
e sto trovando difficoltà sul come impostare il teorema a partire da questo approccio.
Mi piacerebbe capirne il procedimento in modo da poter andare avanti con gli esercizi e sicuramente capire ancora di più praticando, errore dopo errore (ovviamente).
La differenza (almeno nella mia testolina) è che nel tuo esempio, onlyReferee, i limiti di \(\displaystyle g(x) \) e \(\displaystyle h(x) \) vengono arbitrariamente scelti, mentre negli esercizi che mi si sono proposti, no.
È questo che mi manda un pò in crisi.
Innanzitutto grazie per la partecipazione.
onlyReferee, il tuo approccio però conferma il fatto che
\( \displaystyle
\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = L = \lim_{x \to x_0} f(x)
\)
Anche se nel tuo esempio forse è più corretto cosi:
\(\displaystyle
\lim_{x \to 1} \, (x -1) = \lim_{x \to 1} \ln(x) = 0
\)
come giustamente fa notare stormy.
Però gli esercizi che sto affrontando sono impostati come quello discusso nel messaggio 1, ossia, si chiede di calcolare il limite:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} {2 \cos^2(x) \over 6x} \)
e sto trovando difficoltà sul come impostare il teorema a partire da questo approccio.
Mi piacerebbe capirne il procedimento in modo da poter andare avanti con gli esercizi e sicuramente capire ancora di più praticando, errore dopo errore (ovviamente).
La differenza (almeno nella mia testolina) è che nel tuo esempio, onlyReferee, i limiti di \(\displaystyle g(x) \) e \(\displaystyle h(x) \) vengono arbitrariamente scelti, mentre negli esercizi che mi si sono proposti, no.
È questo che mi manda un pò in crisi.
Salve simox2,
Il procedimento che conosco io, con le funzioni trigonometriche è considerare la loro limitazione.
Nel tuo caso è anche inutile applicare il metodo del confronto, in quanto non hai una forma indeterminata.
Ti illustro un caso nel quale il metodo del confronto è utile.
$ lim_(x->+oo) (1+cosx)/x^2 $
In questi casi si prende la limitazione della funzione "coseno", quindi: $ -1<=cosx<=1 $
In seguito, da questa forma, si ricava la forma della funzione di partenza, ovvero: $(1+cosx)/x^2 $
$ 0<=1+cosx<=2 $ ; $ 0<=(1+cosx)/x^2<=2/x^2 $ ;
E adesso, si esegue il limite di $ g(x)=0 $ e $ h(x)=2/x^2 $ per $ x->+oo $ . Se i due limiti coincidono, ovvero:
$ lim_(x->+oo)0=lim_(x->+oo) 2/x^2=0 $ , ciò significa che anche
$ lim_(x->+oo) (1+cosx)/x^2=0 $
Alla fine, si sfrutta la limitazione delle funzioni goniometriche, $ |sinx|<=1 $ , $ |cosx|<=1 $ .
Spero di essere stato chiaro
Il procedimento che conosco io, con le funzioni trigonometriche è considerare la loro limitazione.
Nel tuo caso è anche inutile applicare il metodo del confronto, in quanto non hai una forma indeterminata.
Ti illustro un caso nel quale il metodo del confronto è utile.
$ lim_(x->+oo) (1+cosx)/x^2 $
In questi casi si prende la limitazione della funzione "coseno", quindi: $ -1<=cosx<=1 $
In seguito, da questa forma, si ricava la forma della funzione di partenza, ovvero: $(1+cosx)/x^2 $
$ 0<=1+cosx<=2 $ ; $ 0<=(1+cosx)/x^2<=2/x^2 $ ;
E adesso, si esegue il limite di $ g(x)=0 $ e $ h(x)=2/x^2 $ per $ x->+oo $ . Se i due limiti coincidono, ovvero:
$ lim_(x->+oo)0=lim_(x->+oo) 2/x^2=0 $ , ciò significa che anche
$ lim_(x->+oo) (1+cosx)/x^2=0 $
Alla fine, si sfrutta la limitazione delle funzioni goniometriche, $ |sinx|<=1 $ , $ |cosx|<=1 $ .
Spero di essere stato chiaro
Sì, scusa simox2, ho scritto l'esempio di fretta e mi sono accorto solo dopo del banalissimo errore... Ho rimodificato l'esempio perché ora sia più chiaro.
"E-313":
Nel tuo caso è anche inutile applicare il metodo del confronto, in quanto non hai una forma indeterminata.
Il tuo esempio, E-313, mi è chiaro. Questa frase mi chiarisce alcune cose, forse..
Ecco come io risolverei l' esempio che ho postato:
\( \displaystyle
\lim_{x \to 0} {2 \cos^2(x) \over 6x} = {2 \over 0} = \infty
\)
Ma secondo me è sbagliato il procedimento (non il risultato), perché ho semplicemente applicato la sostituzione.
Se avessi dovuto risolvere cosi anche
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} {\sin(x) \over x} \)
il risultato non sarebbe unitario.
Insomma, non ho le idee chiare.
Avreste mica degli esercizi svolti da cui prendere spunto ?
Nel caso di $lim_(x->0) (2cos^2x)/(6x)$ sfruttando l'algebra dei limiti ottieni un $oo$, in questo caso, infatti, la forma non è indeterminata.
Invece nel caso di $lim_(x->0) sinx/x$ l'algebra dei limiti non viene in aiuto perché si tratta di una forma indeterminata, per poter risolvere questo limite bisogna trovare due funzioni, $g(x)$ e $h(x)$ tali che $g(x)<= sinx/x<=h(x)$ e tutto il lavoro geometrico compreso nella dimostrazione del calcolo di questo limite è volto a dimostrare che in un intorno di $0$ puoi prendere $g(x)=cosx$ e $h(x)=1$.
Invece nel caso di $lim_(x->0) sinx/x$ l'algebra dei limiti non viene in aiuto perché si tratta di una forma indeterminata, per poter risolvere questo limite bisogna trovare due funzioni, $g(x)$ e $h(x)$ tali che $g(x)<= sinx/x<=h(x)$ e tutto il lavoro geometrico compreso nella dimostrazione del calcolo di questo limite è volto a dimostrare che in un intorno di $0$ puoi prendere $g(x)=cosx$ e $h(x)=1$.
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