Teorema degli zeri: perché intervallo chiuso e limitato?

[Jace2]

Salve a tutti!
Avrei un dubbio sul Teorema degli zeri. Nel mio testo di riferimento (Appunti di Analisi Matematica I, di Alberto Venni) c'è scritto:

Sia $[a, b]$ un intervallo chiuso e limitato di $\mathbb{R}$ e sia $f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione continua tale che $f(a)f(b)<0$. Allora $\exists c \in ]a, b[$ tale che $f(c) = 0$.

Non ho ben capito per quale motivo l'intervallo debba essere chiuso e limitato. Può la chiusura dell'intervallo c'entrare con la successiva condizione $f(a)f(b)<0$? E può l'illimitatezza dell'intervallo c'entrare con $f(+\infty)$ o $f(-\infty)$, che non sono definiti se non tramite il concetto di limite?

Vi ringrazio per le risposte.

J.

[donald_zeka]

Se ci serve sapere il valore di $f(a)$ e $f(b)$ l'intervallo deve essere chiuso, se no $f(a)$ e $f(b)$ non sono definiti, e chiaramente deve essere limitato perché $f(+oo)$ e $f(-oo)$ non hanno senso

[gugo82]

La limitatezza e la chiusura dell'intervallo, in realtà, sono degli optional perché vale in generale il seguente risultato:

Siano $I\subseteq \RR$ un intervallo ed $f:I\to \RR$.
Se $f$ è continua in $I$ e se esistono due elementi $x,y\in I$ tali che $f(x)f(y)<0$, allora esiste un $c\in I$ (in particolare $c\in ]\min \{ x,y\} , \max \{x,y\}[$) tale che $f(c)=0$.

Tuttavia, la dimostrazione di questo fatto si fa riconducendosi al caso di intervallo compatto, cioè alla versione "locale" del Teorema degli Zeri riportata sopra. Quindi basta esaminare il caso di intervallo compatto per ottenere il teorema generale.

[vict85]

Topologicamente parlando, la compattezza e la connessione dell'intervallo sono coloro che rendono vero il teorema (ovviamente insieme alla continuità della funzione).

[Fioravante Patrone1]

"vict85":Topologicamente parlando, la compattezza e la connessione dell'intervallo sono coloro che rendono vero il teorema (ovviamente insieme alla continuità della funzione).

Ciao, non sono d'accordo. Per me il teorema degli zeri è la versione "base" del risultato topologico generale il quale ci dice che una funzione continua manda connessi in connessi. Dentro questo risultato generale topologico rientra la versione "generale" del teorema degli zeri per funzioni reali di una variabile reale, come descritto da gugo82 (basta osservare che in $RR$ i connessi sono tutti e soli gli intervalli).

La compattezza non c'entra col teorema degli zeri. I compatti sono un'altra classe significativa (topologicamente) che, ancora, viene conservata come immagine mediante continuità (ovvero: una funzione continua manda compatti in compatti).

Leggerò volentieri "controdeduzioni".

[vict85]

@Fioravante: hai ragione. La compattezza non svolge alcun ruolo nel teorema degli zeri, sono stato confuso dal fatto che il più piccolo insieme connesso che contiene due punti in \(\mathbb{R}\) sia anche compatto. Ma si tratta di un fatto del tutto indipendente.

[gugo82]

Che la compattezza non giochi un ruolo significativo nella verità del teorema può essere ricavato anche da una dimostrazione "alternativa" (che non viene proposta frequentemente) del T.d.Z., la quale sfrutta unicamente la connessione e il Teorema della Permanenza del Segno.
Propongo l'idea: supposto, tanto per capirci che $f(a)<0$ ed $f(b)>0$, si considera l'insieme:
\[
N:=\Big\{ x\in [a,b]:\ f(t)\leq 0 \text{ per ogni } t\in [a,x]\Big\}
\]
e si dimostra che esso è un intervallo limitato contenuto in $[a,b[$; poi si fa vedere che $c:="sup" N

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[Jace2]

"Vulplasir":Se ci serve sapere il valore di $ f(a) $ e $ f(b) $ l'intervallo deve essere chiuso, se no $ f(a) $ e $ f(b) $ non sono definiti, e chiaramente deve essere limitato perché $ f(+oo) $ e $ f(-oo) $ non hanno senso

È lo stesso ragionamento che ho fatto, però ho il timore di giungere a conclusioni "pratiche", per così dire.

"gugo82":Che la compattezza non giochi un ruolo significativo nella verità del teorema può essere ricavato anche da una dimostrazione "alternativa" (che non viene proposta frequentemente) del T.d.Z., la quale sfrutta unicamente la connessione e il Teorema della Permanenza del Segno.
Propongo l'idea: supposto, tanto per capirci che $ f(a)<0 $ ed $ f(b)>0 $, si considera l'insieme:
\[ N:=\Big\{ x\in [a,b]:\ f(t)\leq 0 \text{ per ogni } t\in [a,x]\Big\} \]
e si dimostra che esso è un intervallo limitato contenuto in $ [a,b[ $; poi si fa vedere che $ c:="sup" N$ è un punto tale che $ f(c)=0 $.

È la dimostrazione che ho trovato negli appunti! Si suppone per assurdo che $f(c) \ne 0$ e si procede per come hai descritto. In altri testi si usa il metodo della bisezione per giungere al risultato cercato.

"Fioravante Patrone":Ciao, non sono d'accordo. Per me il teorema degli zeri è la versione "base" del risultato topologico generale il quale ci dice che una funzione continua manda connessi in connessi. Dentro questo risultato generale topologico rientra la versione "generale" del teorema degli zeri per funzioni reali di una variabile reale, come descritto da gugo82 (basta osservare che in $RR$ i connessi sono tutti e soli gli intervalli).

La compattezza non c'entra col teorema degli zeri. I compatti sono un'altra classe significativa (topologicamente) che, ancora, viene conservata come immagine mediante continuità (ovvero: una funzione continua manda compatti in compatti).

Nemmeno nel mio testo si parla si spazi metrici compatti nel teorema, motivo per cui non credo servano nelle ipotesi.
Mi informerò meglio sui "connessi", dato che è la prima volta che li sento nominare. Forse non sono stati menzionati negli Appunti perché, nel mio caso, lo spazio metrico considerato è $\mathbb{R}$.

Vi ringrazio sentitamente per le risposte. Credo di avere le idee più chiare.

J.

[Fioravante Patrone1]

"Jace":
...
[quote="Fioravante Patrone"]Ciao, non sono d'accordo. Per me il teorema degli zeri è la versione "base" del risultato topologico generale il quale ci dice che una funzione continua manda connessi in connessi. Dentro questo risultato generale topologico rientra la versione "generale" del teorema degli zeri per funzioni reali di una variabile reale, come descritto da gugo82 (basta osservare che in $RR$ i connessi sono tutti e soli gli intervalli).

La compattezza non c'entra col teorema degli zeri. I compatti sono un'altra classe significativa (topologicamente) che, ancora, viene conservata come immagine mediante continuità (ovvero: una funzione continua manda compatti in compatti).

Nemmeno nel mio testo si parla si spazi metrici compatti nel teorema, motivo per cui non credo servano nelle ipotesi.
Mi informerò meglio sui "connessi", dato che è la prima volta che li sento nominare. Forse non sono stati menzionati negli Appunti perché, nel mio caso, lo spazio metrico considerato è $\mathbb{R}$.

Vi ringrazio sentitamente per le risposte. Credo di avere le idee più chiare.

J.[/quote]

Buongiorno,
prima di caricare il camion con i cavalli per il concorso di Vermezzo, due cose:
- grazie per il grazie. Fa ancor più piacere quanto più è diventato raro
- sui compatti e connessi, nelle presentazioni più tradizionali di analisi 1 (meglio: delle funzioni reali di una variabile reale), non vengono menzionati. In effetti se ne può fare a meno. Diventano utili come "categorie generali e rappresentative" quando si lavora su spazi a più dimensioni, e in altri contesti nei quali, forse, ti imbatterai. Tieni presente che normalmente la versione iniziale del teorema degli zeri viene data su intervalli chiusi e limitati: ovvero, il classico $[a,b]$, e questo è un compatto...