Teorema degli zeri per funzioni a + variabili

[Dep305]

Nel libro nn esiste la dimostrazione di sto teorema, negli appunti nn si capisce un tubo, nn so dove studiarlo.

qualkuno me lo spiega??? ho solo capito che centrano gli insieme connessi e internamente connessi.

Oppure qualke sito dove è spiegato.....

Grazie in anticipo a tutti.

[adaBTTLS1]

effettivamente, cercando in internet, ho trovato ben poco.

prova a vedere se il teorema è questo:

http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_de ... _implicita

una versione "cartacea" la puoi trovare sul Giusti (Analisi II).

spero di essere stata in qualche modo d'aiuto. ciao.

[Fioravante Patrone1]

"Dep305":Nel libro nn esiste la dimostrazione di sto teorema, negli appunti nn si capisce un tubo, nn so dove studiarlo.

qualkuno me lo spiega??? ho solo capito che centrano gli insieme connessi e internamente connessi.

Oppure qualke sito dove è spiegato.....

Grazie in anticipo a tutti.

[mod="Fioravante Patrone"]Ciao,
ti ricordo che in questo forum non si usa lo essemmessese[/mod]

Quanto alla domanda, che ne diresti di dire quale è l'enunciato di questo teorema?

[Dep305]

Sia E un insieme connesso di R^2 e f: E->R sia continua. Se P Q sono due punti di E tali che f(P)>0 e f(Q)<0, allora esiste un terzo punto R appartenente ad E in cui f si annulla. In particolare, lungo ogni arco di curva continua (contenuto in E) che congiunge P e Q, c'è almeno un punto in cui f si annulla.[/asvg]

[Fioravante Patrone1]

"Dep305":Sia E un insieme connesso di R^2 e f: E->R sia continua. Se P Q sono due punti di E tali che f(P)>0 e f(Q)<0, allora esiste un terzo punto R appartenente ad E in cui f si annulla. In particolare, lungo ogni arco di curva continua (contenuto in E) che congiunge P e Q, c'è almeno un punto in cui f si annulla.[/asvg]

Sia A l'insieme dei punti dove f>0 e B dove è <0.
Sono sottoinsiemi aperti di E (per la continuità di f: teorema di permanenza del segno), non vuoti e disgiunti. Se non vi fosse alcun punto in cui f=0, allora A unito B sarebbe tutto E. Contraddizione col fatto che E è connesso.

La seconda parte che menziona gli archi è una ovvia conseguenza del teorema degli zeri per funzioni di una variabile applicato a f composta con $\phi$, dove $\phi$ è la funzione che descrive l'arco.

[Alexp1]

Ciao Dep305,
penso che la dimostrazione (peraltro già postata da Fioravante) sia abbastanza intuitiva....se $f$ è una funzione continua, la quale è $>0$ in $P$ e $<0$ in $Q$, è intuitivo il fatto che per passare da un valore positivo ad uno negativo, essendo continua, debba passare almeno per un punto $C$, in cui $f(C)=0$....
non trovi?

[dissonance]

"Alexp":Ciao Dep305,
penso che la dimostrazione (peraltro già postata da Fioravante) sia abbastanza intuitiva....se $f$ è una funzione continua, la quale è $>0$ in $P$ e $<0$ in $Q$, è intuitivo il fatto che per passare da un valore positivo ad uno negativo, essendo continua, debba passare almeno per un punto $C$, in cui $f(C)=0$....
non trovi?

Detto così, no. Esempio: la funzione definita in $(-infty, 0)uu(0, +infty)$, a valori in $RR$, continua, che trasforma $x$ in $x/(|x|)$ assume un valore positivo ed uno negativo, ma non passa da 0:
[asvg]axes(); plot("x/(abs(x))");[/asvg]
(quella riga verticale passante per 0 è ovviamente dovuta agli arrotondamenti numerici, non c'è in realtà).
E perché è successo questo fatto? Perché il dominio di questa funzione non è connesso.

Con questo non voglio fare il pignolo sulle affermazioni di Alexp, lo so che lui conosce la teoria. Voglio invece sottolineare il fatto che la proposzione dipende da 2 fattori: la continuità e la connessione. Se cade uno dei due la tesi non è vera. (Anzi, penso che storicamente la definizione di connessione sia stata costruita proprio per poter argomentare su questo fenomeno).

[Dep305]

grazie

[Alexp1]

Ciao "dissonance" hai ragione, ma ho solo voluto semplificare la cosa per cercare di dare un'idea intuitiva a Dep305, poi ovviamente se non si considera la connessione si rischia di cadere in casi particolari come quello da te descritto...

[gugo82]

Ovviamente dissonance ha postato un controesempio con la "magagna"... Infatti $RR\setminus \{0\}$ non è connesso.

[Dep305]

si, infatti, la soluzione più semplice è proprio quella + adatta a me. grazie