Teorema degli zeri: dimostrazione con metodo di bisezione

[Nukenin]

Salve ragazzi,
ho difficoltà nel capire gli ultimi passaggi riguardanti la dimostrazione del teorema degli zeri mediante metodo di bisezione.

Il teorema dimostrato è il seguente, in cui ho evidenziato la parte a me "difficile", in particolar modo:
- il come sia venuto fuori [size=85]$f(x0)<=0$[/size] e [size=85]$f(x0)>=0$[/size] dopo il richiamo al teorema della permanenza del segno;
- e di conseguenza, come da queste ultime due disuguaglianze ha infine ottenuto [size=85]$f(x0)=0$[/size].

Grazie in anticipo per le risposte.

[cooper1]

che il limite faccia zero si capisce perchè $1/(2^n)-> 0$ per $n->+oo$. poichè le successioni $a_n, b_n$ sono successioni monotone e limitate esse ammettono limite finito e questo coincide con i rispettivi estremo superiore ed inferiore. considera per esempio gli estremi $a_n$. il tuo intervallo iniziale si sta stringendo sempre più (per il lemma degli insiemi chiusi e inscatolati diventerà poi un unico punto che sarebbe poi lo zero della funzione). di conseguenza $a_n$ si sta "spostando" sempre più a destra. ovvero $a_n->x_0$. ragionamento analogo per $b_n$. inoltre per ipotesi f è continua, allora $f(a_n)->f(x_0)$. idem per l'altra successione.
per ipotesi abbiamo sempre assunto che $f(a_n)<0$ e $f(b_n)>0$ (ovvero che le funzioni avessero segno discorde).
il teorema di permanenza del segno afferma che una successione a termini negativi (o positivi) non può avere positivo (o negativo). per cui $f(x_0)$, che è il limite sia di $f(a_n)$ che di $f(b_n)$, deve essere:
1. $f(x_0) <= 0$ per le $f(a_n)$
2. $f(x_0) >= 0$ per le $f(b_n)$
si ottiene quindi che $ 0>=f(x_0)>=0 $ . qual è l'unico numero che è contemporaneamente sia maggiore uguale e minore uguale a se stesso? lo zero, da cui la tesi ($f(x_0)=0$)