Teorema degli Zeri di un polinomio

[feldspato1]

Sapete dove posso trovare la dimostrazione del teorema degli zeri di un polinomio?

[Raptorista1]

La dimostrazione fornita da Wiki mi sembra decente

http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_degli_zeri

Quella con bisezione almeno, l'altra non l'ho letta.
Se hai dubbi, chiedi!

[feldspato1]

Sia P(x) un polinomio a coefficienti reali , e siano so. Allora esiste un y appartenente ad R, con s

Cita

Segnala

[Fioravante Patrone1]

@Raptorista: guarda un po' qui...

https://www.matematicamente.it/forum/l-e ... tml#462631

[Raptorista1]

@FP: confesso di non aver letto le ultime due righe, le osservazioni.
Sulla prima mi verrebbe da obiettare che il teorema di esistenza ed unicità degli zeri è un altro, separato da quello di Bolzano.
Sulla seconda non saprei, non ho basi di topologia abbastanza evolute

[regim]

"feldspato":Sia P(x) un polinomio a coefficienti reali , e siano so. Allora esiste un y appartenente ad R, con s

Il teorema di cui parli è, normalmente, quello per cui una funzione continua assume in un intervallo tutti i numeri reali compresi tra quelli assunti agli estremi.
Se vuoi puoi guardare anche "funzione continua in insiemi connessi".
Però non ho capito esattamente quello che cerchi.

[Fioravante Patrone1]

feldspato vuol sapere se ci sono dimostrazioni diverse (più semplici) di quelle solite del teorema degli zeri nel caso in cui la funzione sia un polinomio.
Per esempio, se il polinomio è di primo grado, basta scrivere la soluzione dell'equazione di primo grado...

[feldspato1]

Ho trovato la dimostrazione del teorema a pag.21 del libro Analisi matematica 1 di Giusti seconda edizione

[regim]

"Fioravante Patrone":feldspato vuol sapere se ci sono dimostrazioni diverse (più semplici) di quelle solite del teorema degli zeri nel caso in cui la funzione sia un polinomio.
Per esempio, se il polinomio è di primo grado, basta scrivere la soluzione dell'equazione di primo grado...

Ok grazie. Feld indica una dimostrazione del Giusti, non complicata, ma piuttosto laboriosa, che ha introdotto però per dimostrare poi l'esistenza e unicità della radice ennesima di un numero reale. Un approccio diverso.
Comunque semplifica la dimostrazione della radice ennesima in modo netto, e tutto sommato la preferisco ad altre dimostrazioni più ad hoc, tipo quella del Rudin.

[asromavale1]

riporto la dimostrazione del citato teorema ed elenco i miei dubbi.
teorema:sia $p(x)$ un polinomio a coefficienti reali tali che $P(s)<0$ e $P(t)>0$. Allora esise un $y in R$ con$s dimostrazione : sia $E$ l' insieme degli $x$ compresi tra $s$ e $t$ tali che $P(x)<0$

$E={x in r:s<=x<=t; P(x)<0}$,
e sia $y=SupE$.
supponiamo per assurdo che $P(y)<0$. il punto $y$ non può essere il secondo estremo $t$,dato che per ipotesi $P(t)>0$.Per un lemma precedente esiste un intorno$I(y,r)$ in cui $P(x)<0$;di conseguenza esisterebbero dei punti di $E$ maggiori di $y$ (perchè?) , che dunque non potrebbe essere l' estremo superiore di $E$.
in maniera analoga si esclude il caso $p(y)>0$.in questo caso esisterà ancora un intorno$I(y,r)$ di $y$ in cui $P(x)>0$;e siccome $y$ non può coincidere con il punto estremo $s$ perchè $P(s)<0$, si può supporre (prendendo il raggio $r$ dell' intorno abbastanza piccolo) che anche $y-r$ sia maggiore di s.(perchè $y-r$ è maggiore di s e perchè usa la parola "anche" ,chi oltre $y-r$ è maggiore di s?)D 'altra parte $y$ è un maggiorante di $E$,e dunque non ci sono elementi di $E$ maggiori di $y$.non ci sono nemmeno elementi di $E$ compresi tra $y-r$ e $y$ dato che in quell' intervallo si ha $P(x)>0$.(perchè il fatto che nell' intervallo tra $y-r$ e $y$ si ha $P(x)>0$ implica che in quell' intervallo non ci sono elementi di $E$?)Ma allora anche $y-r$ sarebbe un maggiorante di $E$ (perchè?);il che è impossibile dato che $y=SupE$ è i minimo dei maggioranti.Resta dunque la sola possibilità $P(y)=0$ ed il teorema è dimostrato.
so che i dubbi in merito al teorema sono parecchi ma spero che qualcuno mi aiuti a risolverli
grazie in anticipo