Teorema degli zeri??
ciao ho un esercizio con una funzione $ z(x)=e^{x}((1/k)-e^{-x}-x-1) $
dice che essendo $ lim_(x -> -oo ) z(x)=-1 $ e $ lim_(x -> oo ) z(x)=-oo $ per il teorema degli zeri esistono (e sono
unici per la monotonia) a < 0 e b > 0 tali che z(a) = z(b) = 0
io non ho capito perchè dai due limiti dice che ci sono due zeri??grazie
dice che essendo $ lim_(x -> -oo ) z(x)=-1 $ e $ lim_(x -> oo ) z(x)=-oo $ per il teorema degli zeri esistono (e sono
unici per la monotonia) a < 0 e b > 0 tali che z(a) = z(b) = 0
io non ho capito perchè dai due limiti dice che ci sono due zeri??grazie
Risposte
Sicuro che il testo è giusto? Perché questo fatto a me tornerebbe se uno dei due limiti fosse positivo e l'altro negativo. Ciao
Ciao. Il dubbio che ci sia un errore nel testo ce l'ho anch'io. Sarebbe come dice la conclusione se l'unico punto di massimo fosse sopra l'asse delle ascisse, ma non è scontato che sia così. Poi: la $a$ che compare nell'espressione di $z(x)$ dovrebbe essere la stessa $a$ che salta fuori dopo?
no scusate la a al denominatore indica un valore qualsiasi appartenente a R:scusate mi ero accorto che c' erano due a.ora l'ho modificato
@Obelix: ti ha risposto Palliit dopo in modo più diretto, non leggere questo qui sotto ché non serve.
No problem
Solo che mi aspettavo che la nuova versione diventasse col limite +1, allora la risposta sarebbe stata più semplice. In questo caso, invece, calcolerei la derivata per vedere se il punto di massimo ha ordinata positiva o negativa, come diceva Palliit. Se è positiva, allora puoi applicare il teorema degli zeri. Infatti, il tuo "a" tale che z(a) > 0 può essere proprio il punto di massimo. Invece, visto che il limite è infinito negativo, esiste un punto b di ordinata negativa (questo è intuitivo, ma si può vedere anche applicando la definizione di limite). Quindi adesso hai z(a) > 0 e z(b) < 0 e puoi applicare il teorema di esistenza degli zeri.
Il punto di massimo (controlla perché l'ho fatto di fretta) a me viene $x = 1/k - 2$.
$z(1/k - 2) = 1 - e^(2 - 1/k)$, che tuttavia non è positivo per tutti i k. Se è negativo, non puoi applicare il teorema degli zeri. Ora rivedo i calcoli, se ho sbagliato nel frattempo fammi sapere!
p.s. Invece di calcolare la derivata, forse basta trovare un punto di ordinata positiva e uno di ordinata negativa, ma questo non mi è venuto più semplice che il procedimento precedente.
Sul fatto che intervenga il limite "-1", a questo punto non dirti.
No problem
Solo che mi aspettavo che la nuova versione diventasse col limite +1, allora la risposta sarebbe stata più semplice. In questo caso, invece, calcolerei la derivata per vedere se il punto di massimo ha ordinata positiva o negativa, come diceva Palliit. Se è positiva, allora puoi applicare il teorema degli zeri. Infatti, il tuo "a" tale che z(a) > 0 può essere proprio il punto di massimo. Invece, visto che il limite è infinito negativo, esiste un punto b di ordinata negativa (questo è intuitivo, ma si può vedere anche applicando la definizione di limite). Quindi adesso hai z(a) > 0 e z(b) < 0 e puoi applicare il teorema di esistenza degli zeri. Il punto di massimo (controlla perché l'ho fatto di fretta) a me viene $x = 1/k - 2$.
$z(1/k - 2) = 1 - e^(2 - 1/k)$, che tuttavia non è positivo per tutti i k. Se è negativo, non puoi applicare il teorema degli zeri. Ora rivedo i calcoli, se ho sbagliato nel frattempo fammi sapere!
p.s. Invece di calcolare la derivata, forse basta trovare un punto di ordinata positiva e uno di ordinata negativa, ma questo non mi è venuto più semplice che il procedimento precedente.
Sul fatto che intervenga il limite "-1", a questo punto non dirti.
Allora c'è sicuramente qualche errore.
Se $k$ è un qualsiasi reale, posso mettere per esempio $k=1$, la funzione diventa $z(x)=-1-xe^x$ che ha il massimo assoluto in $x=-1$ e nel massimo è $z(-1)=-1-1/e<0$, quindi non può avere zeri.
Se $k$ è un qualsiasi reale, posso mettere per esempio $k=1$, la funzione diventa $z(x)=-1-xe^x$ che ha il massimo assoluto in $x=-1$ e nel massimo è $z(-1)=-1-1/e<0$, quindi non può avere zeri.
il limite viene -1 l ho ricontrollato ed è quello
Sì, il limite è giusto, è - 1, solo che, per esempio per k = 1, la funzione sta tutta sotto l'asse delle ascisse. Il limite "-1" non significa che la funzione "salga" fino a raggiungere l'asse delle ascisse. Hai geogebra?
Un altro problema: il testo afferma che la funzione e' monotona e ammette DUE zeri.........
come fa una funzione monotona ad avere due zeri??
come fa una funzione monotona ad avere due zeri??
Secondo me al posto di $k$ ci va $x$. Spiegherebbe anche questa strana cosa della monotonia e due zeri (uno per ogni ramo)
@Valerio Capraro: con $1/x$ al posto di $1/k$ però di zeri ne ha uno solo, positivo. Il ramo di ascisse negative è tutto sotto l'asse $x$, mi pare.
Non lo so, non ho controllato. Pero' mi sa un po' strano quel $k$... pare che non c'entri niente con l'esercizio!
Si e' vero, hai ragione! allora mettiamoci $|x|$ al posto di $k$ 
Sì ma così sembra il gioco delle tre carte, non un esercizio 
Mi sembra evidente che il testo e' sbagliato! E controproduttivo proseguire...
1. C'e' un $k$ che non si sa a che serve
2. C'e' una funzione monotona tutta negativa (a volte) ma con due zeri
de che stamo a parla'?!
1. C'e' un $k$ che non si sa a che serve
2. C'e' una funzione monotona tutta negativa (a volte) ma con due zeri
de che stamo a parla'?!
vi metto una foto delle soluzioni
Ciao. Ecco, guarda bene la 9a riga della tua foto, dove c'è scritto: $y=1/(e^x(1/alpha-e^(-x)-x+1))=...$.
Davanti all'ultimo $1$ c'è un segno $+$. Il problema che hai postato riguarda questa (altra) funzione:
Sono diverse. Un segno davanti a un numero cambia le cose in modo a volte drastico. Chiedilo a un bancario.
E inoltre dal testo della risoluzione che hai pubblicato si evince chiaramente che la discussione riguarda valori positivi di $alpha$, non qualunque numero.
Davanti all'ultimo $1$ c'è un segno $+$. Il problema che hai postato riguarda questa (altra) funzione:
"obelix23":
ciao ho un esercizio con una funzione $ z(x)=e^{x}((1/k)-e^{-x}-x-1) $
dice che essendo $ lim_(x -> -oo ) z(x)=-1 $ e $ lim_(x -> oo ) z(x)=-oo $ per il teorema degli zeri esistono (e sono
unici per la monotonia) a < 0 e b > 0 tali che z(a) = z(b) = 0
io non ho capito perchè dai due limiti dice che ci sono due zeri??grazie
Sono diverse. Un segno davanti a un numero cambia le cose in modo a volte drastico. Chiedilo a un bancario.
E inoltre dal testo della risoluzione che hai pubblicato si evince chiaramente che la discussione riguarda valori positivi di $alpha$, non qualunque numero.
"Palliit":
Sono diverse. Un segno davanti a un numero cambia le cose in modo a volte drastico. Chiedilo a un bancario.
Confermo (da bancario...)
"maxsiviero":
Confermo (da bancario...)
scusatemi di avervi fatto perdere tempo con quell errore non me ne ero accorto!!ma perche dai due limiti dice che ci due zeri??io da quello che ho capito i due limiti non dovrebbero essere di segno opposto per avere degli zeri ??
Non preoccuparti Obelix, non siamo mica in banca
Vedi la settima riga prima della fine. Se tu avessi soltanto i due limiti negativi, non potresti applicare il teorema degli zeri, come dici. Invece qui c'è anche z(0) > 0, quindi il teorema si può applicare due volte: nell'intervallo $[- \oo, z(0)]$ e nell'intervallo $[z(0), \oo]$, pertanto hai almeno due zeri.
p.s. Ma quello che hai allegato è un libro o una dispensa? Sembra spiegato bene, se è una dispensa me la linki?
Vedi la settima riga prima della fine. Se tu avessi soltanto i due limiti negativi, non potresti applicare il teorema degli zeri, come dici. Invece qui c'è anche z(0) > 0, quindi il teorema si può applicare due volte: nell'intervallo $[- \oo, z(0)]$ e nell'intervallo $[z(0), \oo]$, pertanto hai almeno due zeri.
p.s. Ma quello che hai allegato è un libro o una dispensa? Sembra spiegato bene, se è una dispensa me la linki?
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