Teorema degli zeri
Vado dritto al punto, tralasciando il superfluo che sicuramente vi annoierebbe 
Dimostro tale teorema con il metodo di bisezione, dal quale vengono fuori due successioni $a_n$ e $b_n$ per le quali vale tale relazione $ a_n0$ e $f(b)<0$ ). Per come sono state costruite le successioni $f(a_n)>0 AAnin NN$ e $f(b)<0AAninNN$. Successivamente da $a_n-b_n=(a-b)/(2^n)$ dimostro che $a_n \to l$ e $ b_n \to l$ dove con $l$ ho indicato il limite comune. Per la continuità della funzione valgono $\lim_{n \to \infty}f(a_n)=l$ e $\lim_{n \to \infty}f(b_n)=l$. A questo punto cito il libro : $\lim_{n \to \infty}f(a_n)=l >=0$ e $\lim_{n \to \infty}f(b_n)=l<=0$ $rArr l=0 $
Vi chiedo: da dove viene fuori, rigorosamente parlando, il $>=0$?
Pensavo a qualcosa del genere: $f(a_n) $ e$ f(b_n)$ sono successioni limitate rispettivamente inferiormente e superiormente. Per definzione una successione è limitata inferiormente se $AAninN$ risulta $ x_n>=m$ ( stessa cosa "superiormente") quindi risulta $f(a_n) >=0 AAninN$ da cui $\lim_{n \to \infty}f(a_n)=l >=0$ ma non so se ho detto cretinate. Attendo correzioni
Dimostro tale teorema con il metodo di bisezione, dal quale vengono fuori due successioni $a_n$ e $b_n$ per le quali vale tale relazione $ a_nVi chiedo: da dove viene fuori, rigorosamente parlando, il $>=0$?
Pensavo a qualcosa del genere: $f(a_n) $ e$ f(b_n)$ sono successioni limitate rispettivamente inferiormente e superiormente. Per definzione una successione è limitata inferiormente se $AAninN$ risulta $ x_n>=m$ ( stessa cosa "superiormente") quindi risulta $f(a_n) >=0 AAninN$ da cui $\lim_{n \to \infty}f(a_n)=l >=0$ ma non so se ho detto cretinate. Attendo correzioni
Risposte
No, non la fare lunga. Per costruzione
\[ f(a_n) >0, \forall n\in\mathbb{N}, \]
quindi per il teorema di permanenza delle disuguaglianze (non so se lo chiami così)
\[\lim_{n\to \infty} f(a_n) \ge 0.\]
(Osserva che la disuguaglianza col minore stretto si prolunga ad una disuguaglianza col minore o uguale. E' sempre così quando applichi il teorema di permanenza delle disuguaglianze.)
\[ f(a_n) >0, \forall n\in\mathbb{N}, \]
quindi per il teorema di permanenza delle disuguaglianze (non so se lo chiami così)
\[\lim_{n\to \infty} f(a_n) \ge 0.\]
(Osserva che la disuguaglianza col minore stretto si prolunga ad una disuguaglianza col minore o uguale. E' sempre così quando applichi il teorema di permanenza delle disuguaglianze.)
Io lo chiamo "permanenza del segno"
Mi confermate che state parlando dello stesso teorema? Perchè io non mi ci trovo molto. Per il teorema della permanenza del segno (come lo trovo sul mio libro) abbiamo che se $lim a_n=l >0 rArr EE n_1:AA n>n_1 a_n>0 $ e non trovo una doppia implicazione, la relazione logica può essere letta solo da sinistra verso destra? Inoltre non comprare traccia del $>=$ nemmeno qui..
Anche io lo chiamo teorema di permanenza del segno e comunque quello che dice dissonance penso sia il corollario (su alcuni programmi di analisi l'ho trovato indicato così) del teorema sopra citato.
Ok ragazzi, grazie a tutti
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