Teorema degli zeri

KatieP
Sto studiando una dimostrazione alternativa del teorema degli zeri che non fa uso del metodo di bisezione. Parte da un insieme $X={x € [a,b] : f(x) <0}$ e pone $x_0$ uguale all'estremo superiore di $X$. Supponendo che $f(a)<0$ e $f(b)>0$ si deduce che $x_0$ è interno all'intervallo. Ecco allora, ho provato a giustificare quest'ultima parte così. Se $x_0$ coincidesse con $a$ allora poiché la funzione è continua $f(a)$ è uguale al limite per $x$ che tende ad $a^+$ . Quindi per la permanenza del segno esisterebbe almeno un intorno in cui la funzione è strettamente negativa. Quindi $a$ non potrebbe essere il sup perché minore di altri elementi che appartengono ad $X$ . I miei problemi sono nel giustificare perché $x_0$ non può coincidere con $b$. In quel caso per il teorema della permanenza del segno ci sarebbe un intorno di $b$ in cui la funzione è strettamente positiva , ma perché questo contraddice le proprietà del sup?

Risposte
gugo82
Il $"sup"$ di che?

KatieP
Perché $x_0$, in quanto estremo superiore dell'insieme $X$ , non può collocarsi in corrispondenza dell'estremo $b$ dell'intervallo?

gugo82
Scusami, non avevo letto bene.

Ad ogni modo, hai ragionato bene. Per permanenza del segno, l'insieme $X$ non contiene alcun elemento di un opportuno intorno sinistro di $b$, perciò esiste un $delta >0$ piccolo tale che $x_0 ="sup" X <= b-delta < b$.

KatieP
Perfetto, scusa il ritardo, ti ringrazio!

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