Teorema degli zeri

[chiarnik]

Scusate ragazzi mi è venuto un dubbio...allora il teorema degli zeri ha tra le ipotesi che f(a)*f(b)<0...ma il teorema vale anche se f(a)*f(b)>0 ???

[Rigel1]

No. Prendi \(f(x) = 1\), \(x\in [0,1]\).

[Gi81]

No, il vincolo $f(a)*f(b)<0$ è fondamentale.

Ti faccio un controesempio: prendi $f(x)=1$ (funzione costante), $a=1$, $b=2$.
La funzione è continua e derivabile su $[a,b]$, e inoltre $f(a)*f(b)=1*1=1>0$.
Se valesse il teorema come ipotizzi tu, allora esisterebbe $c in (a,b)$ tale che $f(c)=0$.
Ma ciò è impossibile, perchè $f(x)$ è la funzione costante $1$.


edit: Rigel

[chiarnik]

Ah giusto...grazie mille ^_^

[ciampax]

Posso fare un intervento che potrà sembrare poco carino ma che secondo me è fondamentale? Gi8 e Rigel ti hanno dato esempi e spiegato perché ti serve, ma io avrei una domanda: tu hai capito cosa vuol dire $f(a)\cdot f(b)<0$? E che cosa implica a livello intuitivo? Perché loro, in un certo senso, hanno dato per scontata questa cosa. Non me ne volere, non è un rimprovero né un'offesa... però in certi casi le cose vanno prese "terra-terra" prima di passare a situazioni esemplificative che, magari, non racchiudono il concetto base e che, sempre magari, è sfuggito.

[chiarnik]

nono figurati nn ti preoccupare...cmq da quello che ho studiato vuol dire che la funzione assume valori discordi agli estremi della funzione...giusto?

[ciampax]

"chiarnik":nono figurati nn ti preoccupare...cmq da quello che ho studiato vuol dire che la funzione assume valori discordi agli estremi della funzione...giusto?

Sì, ok, quello è il suo significato. Ma ti sei chiesto: "perché deve accadere questa cosa"? Perché secondo me, se lo avessi fatto, non te ne saresti uscito con quella domanda.