Teorema degli incrementi finiti.

[StellaMartensitica]

Esercizio: Determinare i punti di Cauchy delle due seguenti funzioni nell'intervallo $I=[0,1]$.

$f(x)=1+ln(x)$
$g(x)=2ln(x)$
la soluzione che mi da il libro è $\forallx in I$
$f'(x)=1/x$
$g'(x)=2/x$
$f(1)=1$
$g(1)=0$
Però $ln(x)$ non esiste in zero. Per far riuscire il risultato ho fatto:

$lim_(x->0^+)[(f(1)-f(0))/(g(1)-g(0))]=lim_(x->0^+)[(f'(x))/(g'(x))]$

Da cui effettivamente:

$lim_(x->0^+)[(1+ln(x)-1)/(2ln(x))]=lim_(x->0^+)[(1/x)/(2/x)]$

$1/2=1/2$ da cui la soluzione proposta dal testo. Ma è legale fare questa cosa? Non contravviene all'ipotesi del teorema di Cauchy che si tratti di due funzioni $f:[a,b]->RR$ e $g:[a,b]->RR$ ?

[dissonance]

Prego. Hai capito perché il tuo primo post era sbagliato?

[StellaMartensitica]

Si dovevo lasciare la x. Non potevo sostituire lo zero ad argomento di ln(x) perché non è una scrittura senza senso.

[dissonance]

E inoltre hai scritto un límite del rapporto di derivate, che non so da dove hai tirato fuori.

[gugo82]

Posso però associarmi a Mathita? Il testo dell'esercizio è scritto davvero male... A meno che nel testo non sia stata dimostrata qualche generalizzazione del Teorema di Cauchy ad intervalli non compatti o cose simili (cosa che ritengo davvero poco probabile).

[StellaMartensitica]

Non c'è nessuna generalizzazione. Forse è solo un esercizio buttato lì con l'intervallo scritto sbagliato.