Teorema degli incrementi finiti.
Esercizio: Determinare i punti di Cauchy delle due seguenti funzioni nell'intervallo $I=[0,1]$.
$f(x)=1+ln(x)$
$g(x)=2ln(x)$
la soluzione che mi da il libro è $\forallx in I$
$f'(x)=1/x$
$g'(x)=2/x$
$f(1)=1$
$g(1)=0$
Però $ln(x)$ non esiste in zero. Per far riuscire il risultato ho fatto:
$lim_(x->0^+)[(f(1)-f(0))/(g(1)-g(0))]=lim_(x->0^+)[(f'(x))/(g'(x))]$
Da cui effettivamente:
$lim_(x->0^+)[(1+ln(x)-1)/(2ln(x))]=lim_(x->0^+)[(1/x)/(2/x)]$
$1/2=1/2$ da cui la soluzione proposta dal testo. Ma è legale fare questa cosa? Non contravviene all'ipotesi del teorema di Cauchy che si tratti di due funzioni $f:[a,b]->RR$ e $g:[a,b]->RR$ ?
$f(x)=1+ln(x)$
$g(x)=2ln(x)$
la soluzione che mi da il libro è $\forallx in I$
$f'(x)=1/x$
$g'(x)=2/x$
$f(1)=1$
$g(1)=0$
Però $ln(x)$ non esiste in zero. Per far riuscire il risultato ho fatto:
$lim_(x->0^+)[(f(1)-f(0))/(g(1)-g(0))]=lim_(x->0^+)[(f'(x))/(g'(x))]$
Da cui effettivamente:
$lim_(x->0^+)[(1+ln(x)-1)/(2ln(x))]=lim_(x->0^+)[(1/x)/(2/x)]$
$1/2=1/2$ da cui la soluzione proposta dal testo. Ma è legale fare questa cosa? Non contravviene all'ipotesi del teorema di Cauchy che si tratti di due funzioni $f:[a,b]->RR$ e $g:[a,b]->RR$ ?
Risposte
Che sono i punti di Cauchy?
Un punto di Cauchy è un punto la cui esistenza è assicurata dal teorema di Cauchy.
Ah. E quali sono le proprietà di questo punto? Questa che hai scritto non è una definizione.
Date $f(x):A->RR$ e $g(x):A->RR$ , con $A=[a;b]$ continue, derivabili sull'intervallo aperto $(a,b)$ con $g'(x)!=0$ in $(a,b)$, esiste un punto $\xi$ tale che:
$(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=(f'(\xi))/(g'(\xi))$.
Quindi la caratterizzazione del punto è che deve soddisfare l'uguaglianza $(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=(f'(\xi))/(g'(\xi))$.
$(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=(f'(\xi))/(g'(\xi))$.
Quindi la caratterizzazione del punto è che deve soddisfare l'uguaglianza $(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=(f'(\xi))/(g'(\xi))$.
Tutto il problema è mal posto, perché non ha senso scrivere né \(f(0)\) né \(g(0)\), non so cosa tu intenda per "soluzione proposta dal testo", ma il tuo svolgimento sono dei conti a casaccio, non si possono interpretare come qualcosa di sensato.
O hai riportato male la traccia oppure c'è un errore nel testo. Il mio suggerimento, in questo caso, è di lasciare perdere questo esercizio ed andare avanti.
O hai riportato male la traccia oppure c'è un errore nel testo. Il mio suggerimento, in questo caso, è di lasciare perdere questo esercizio ed andare avanti.
Quindi nell'esercizio non si può applicare Cauchy?
Non ho capito bene le ipotesi sugli estremi io.
Non ho capito bene le ipotesi sugli estremi io.
Ma certo che no, scusami, come fai a scrivere \(f(0)\) e \(g(0)\) se né \(f\) né \(g\) sono definite in \(0\)?
Ok grazie. Adesso ho capito meglio le ipotesi.
Ma che libro è?
Sinceramente, mi pare ben strano che un testo di Matematica riporti un esercizio del genere...
Sinceramente, mi pare ben strano che un testo di Matematica riporti un esercizio del genere...
Il libro è "Esercizio di analisi e geometria 1" , scritto da Emanuele Munarini che è un professore del Politecnico, dove studio. È l'edizione del 2012. L'ho presa su Amazon. Probabilmente mi hanno rifilato l'edizione più vecchia avanzata in magazzino.
Adesso ho capito cosa hai fatto nel primo post. Andava bene, ma lo hai scritto male, e non si capiva nulla. Tu volevi sostituire
\[
\frac{f(1)-f(0)}{g(1)-g(0)} ,
\]
che non ha senso, con
\[
\lim_{x\to 0^+}\frac{f(1)-f(x)}{g(1)-g(x)} .\]
Nota la differenza con quello che hai scritto tu:
Dove starebbe la \(x\), in ciò che hai scritto?
\[
\frac{f(1)-f(0)}{g(1)-g(0)} ,
\]
che non ha senso, con
\[
\lim_{x\to 0^+}\frac{f(1)-f(x)}{g(1)-g(x)} .\]
Nota la differenza con quello che hai scritto tu:
\[\lim_{x\to 0^+}\frac{f(1)-f(0)}{g(1)-g(0)} \]
Dove starebbe la \(x\), in ciò che hai scritto?
Non ho capito se il teorema di Cauchy si può applicare o no nell'intervallo indicato.
Il teorema non si può applicare, ma uno o più punti di Cauchy potrebbero comunque esistere.
Hai capito qual è la mia obiezione, nel mio post precedente?
Hai capito qual è la mia obiezione, nel mio post precedente?
Scusate se mi intrometto.
[ot]Questo esercizio non ha né capo né coda. Se il punto di Cauchy è definito come quel punto $\xi\in (0,1)$ tale che $\frac{f(1)-f(0)}{g(1)-g(0)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$, a rigore il problema stesso è mal posto.
Dal punto di vista teorico, potremmo applicare il teorema sugli intervalli del tipo $[t, 1]$ con $0
[/ot] [size=80]Commento forse troppo estremista.[/size]
[ot]Questo esercizio non ha né capo né coda. Se il punto di Cauchy è definito come quel punto $\xi\in (0,1)$ tale che $\frac{f(1)-f(0)}{g(1)-g(0)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$, a rigore il problema stesso è mal posto.
Dal punto di vista teorico, potremmo applicare il teorema sugli intervalli del tipo $[t, 1]$ con $0
[/ot] [size=80]Commento forse troppo estremista.[/size]
Aggiungo un commento al mio post precedente; chiaramente, per "punto di Cauchy" nel caso in questione si intende un punto \(\xi\in (0, 1)\) tale che
\[
\lim_{x\to 0^+}\frac{f(1)-f(x)}{g(1)-g(x)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.\]
In realtà è un esercizio interessante; naturalmente, ci vuole un po' di maturità matematica per interpretarlo bene, e un paio di righe di spiegazione dell'autore avrebbero giovato.
\[
\lim_{x\to 0^+}\frac{f(1)-f(x)}{g(1)-g(x)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.\]
In realtà è un esercizio interessante; naturalmente, ci vuole un po' di maturità matematica per interpretarlo bene, e un paio di righe di spiegazione dell'autore avrebbero giovato.
@dissonance: tu puoi concederti la libertà di manipolare la definizione perché sei un matematico navigato (e molto mooolto in gamba! 
) però uno studente non ha ancora la maturità di dire:"aggiusto la definizione secondo i miei interessi". Se il libro non avesse proposto alcuna soluzione, attenendomi alla definizione di SerDaniel, avrei concluso con fermezza la mal posizione del problema.
Dal mio punto di vista, l'esercizio sarebbe stato interessante anche nel caso in cui l'intervallo fosse stato $[1/2, 1]$, no?
) però uno studente non ha ancora la maturità di dire:"aggiusto la definizione secondo i miei interessi". Se il libro non avesse proposto alcuna soluzione, attenendomi alla definizione di SerDaniel, avrei concluso con fermezza la mal posizione del problema.Dal mio punto di vista, l'esercizio sarebbe stato interessante anche nel caso in cui l'intervallo fosse stato $[1/2, 1]$, no?
Ma quindi esiste il punto di Cauchy, ma non si può applicare il teorema di Cauchy?
@SirDanielFortesque: Continui a rispondere con ulteriori domande. Già ti è stato detto tutto quello che c'era da dire, adesso ti devi applicare un po' e masticare per bene. È seccante scrivere se poi fai così, dando l'impressione di non avere neanche letto i precedenti interventi.
ho letto mancasse altro. Vabbè è un esercizio strano adesso cerco di elaborare grazie.
@dissonance adesso ho capito la faccenda di come impostare correttamente il passaggio al limite nel primo post della diacussione comunque. Grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo