Teorema de L'Hopital.

[turtle87crociato]

Perchè, quando si dimostra il teorema de l'Hopital, che vale per funzioni definite e derivabili in un intorno di un punto $c$, di accumulazione per il dominio di una funzione, ma non necessariamente appartenente a quel dominio, si parte con l'allargare la funzione anche al punto $c$, includendolo "artificialmente" nel dominio?

La dimostrazione che cito è la seguente, presa da wikipedia:

http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_ ... C3%B4pital,
allorchè dice: "Pertanto è possibile supporre che sia $f(c) = 0$ e $g(c) = 0$.

Cosa autorizza a dire che sia "possibile" supporre l'allargamento ad un'altra funzione definita, stavolta (contrariamente alle funzioni considerate nell' ipotesi), in $c$ ?

P.S.- Non sono sicuro della correttezza della dimostrazione presente su wikipedia. In realtà il mio professore ne ha fatta un'altra, che non utilizza Cauchy ma Lagrange, ma ciò che mi preme è il punto, poco chiaro, evidenziato . Punto comune ad entrambe le dimostrazioni

[ciampax]

A prescindere che venga utilizzato Cauchy o Lagrange, i due teoremi possono essere usati se e solo se la funzione risulti definita negli estremi dell'intervallo. Nelle ipotesi del teorema di de l'Hopital, invece, non è detto che il punto di accumulazione $c$ appartenga al dominio delle funzioni in gioco.

[turtle87crociato]

Ma non è una "eccessiva libertà" il fatto di "estendere la funzione" e quindi definirla "arbitrariamente" anche in $x_0$? E' proprio la logica della dimostrazione che mi sfugge (ma non è compito vostro, lo so, è solo per farvi capire la natura del mio dubbio ).

[ciampax]

No, assolutamente. Il senso è questo: per dimostrare de l'Hopital hai bisogno di applicare il teorema di Cauchy. Grazie alle ipotesi del Teorema di DeH, puoi estendere le funzioni coinvolte nel punto $x_0$ e di conseguenza applicare Cauchy. Non capisco dove tu veda una "eccessiva liberta": tale sarebbe se tu ti mettessi ad affermare fatti non veri o non dimostrabili, ma qui le cose funziona benissimo.