Teorema convergenza assoluta int improprio

[zerbo1000]

ciao ragazzi, allora

consideriamo l'integrale $ int_( 1)^(+oo ) cosx/x^2 dx $

il libro dice che dato il criterio della convergenza assoluta(cosi lo chiama) , cosi applicato(con applicato anche il teorema del confronto)

$ |int_( 1)^(+oo ) cosx/x^2 dx| <= int_( 1)^(+oo ) |cosx/x^2| dx <= int_( 1)^(+oo ) 1/x^2 dx=1 $

l'integrale di partenza converge,

quindi se non sbaglio sta affermando che se $ |int_( 1)^(+oo ) cosx/x^2 dx |$ converge allora $ int_( 1)^(+oo ) cosx/x^2 dx $ converge

ma su cosa basa questa affermazione?
non trovo nessun teorema o criterio che lo affermi

[billyballo2123]

Se
\[
\bigg|\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos x}{x^2} dx\bigg|
\]
converge (cioè anziché valere $\pm \infty$ è un numero reale), allora è ovvio che anche
\[
\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos x}{x^2} dx
\]
converga. Se ad esempio
\[
\bigg|\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos x}{x^2} dx\bigg|=a>0,
\]
allora
\[
\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos x}{x^2} dx=\pm a.
\]