Teorema Bolzano-Weierstrass successioni:

[Roslyn]

Buongiorno, non riesco a comprendere alcuni passaggi di tale teorema. Per semplificare il tutto enuncio il teorema e mi soffermo sul problema:
Sia $a_n$ una successione limitata. Allora esiste almeno una sua estratta convergente.
Dimostrazione:
Per ipotesi la successione è limitata,pertanto esistono due costanti $A,B$(appartenenti ad R) tali che:
$A ≤ a_n ≤ B$ per ogni n appartenente ad N.
Suddividiamo l'intervallo $[A,B] $mediante il punto di mezzo $C=(A+B) / 2$ e consideriamo i due intervalli$ [A,C], [C,B]$. Uno almeno dei due intervalli contiene i termini della successione $a_n$ per infiniti indici. Sia ad esempio $[A,C]$ il sottointervallo che contiene termini della successione per infiniti indici e indichiamolo genericamente con il simbolo $[A1,B1]$ essendo:(qua iniziano i miei dubbi):
$A ≤ A1$ (perchè?non sono uguali?),$ B1 ≤ B $(non è strettamente maggiore?)
Non capisco quest'ultimo passaggio! ho provato a disegnare il tutto , e mi trovo discordante con il libro ... Gentilmente potete spiegarmi passo dopo passo il perchè? grazie mille in anticipo

[Rigel1]

Per il sottointervallo in questione ci sono due possibilità:
1) è \([A,C]\); in tal caso \(A_1 = A\), \(B_1 = C\);
2) è \([C, B]\); in tal caso \(A_1 = C\), \(B_1 = B\).
In entrambi i casi \(A\leq A_1\) e \(B_1 \leq B\).

[Roslyn]

Grazie mille!

[asromavale1]

riporto in allegato il teorema di bolzano weierstrass così come viene dimostrato sul mio testo di riferimento nella speranza che qualcuno possa chiarire i miei dubbi:
1)sul punto uno non capisco l' implicazione "siccome esistono infiniti indici $ n_k : a_(n_k)=a $ ne segue che $ a_(n_k) \rightarrow a $
2)sul punto due(che in parte si trova in allegato al messaggio che segue) non capisco la necessita' di prendere i primi termini delle successioni appartenenti agli intervalli $ I_n $.perchè proprio i primi termini ?Non avrei potuto prendere un termine qualsiasi di tali successioni?
grazie in anticipo

[asromavale1]

allego la seconda parte della dimostrazione

[jitter1]

"asromavale":
1)sul punto uno non capisco l' implicazione "siccome esistono infiniti indici $ n_k : a_(n_k)=a $ ne segue che $ a_(n_k) \rightarrow a $

Scrivo quanto ho capito io. Poiché una successione è una funzione da N in un altro insieme, ogni numero naturale avrà un'immagine: quindi la successione è per sua definizione "infinita", ma non è detto che l'insieme immagine I sia un insieme infinito. Può essere, per esempio, $a_k = 1$ per ogni k, quindi l'insieme immagine è {k}. Nel caso, appunto, in cui I è finito, esiste almeno un elemento che si ripete infinite volte. Infatti, giusto per visualizzare, supponiamo che non sia così che ogni elemento di I si ripeta, invece, un numero finito di volte. Per esempio in questo modo:
I = {1, 7, -1}
$a_1 = 1$
$a_2 = 7$
$a_3 = -1$
$a_4 = 7$
A un certo punto mi devo fermare perché sto cercando di costruire una successione in cui ogni termine si ripete soltanto un numero finito di volte. Ma non è possibile! (La successione non è finita qui, perché a ogni naturale deve essere associata un'immagine).
Almeno uno degli elementi di I deve ripetersi infinite volte. Supponiamo sia il 7.
Allora, per infiniti indici, $b_i = 7$.

Ora, noi cercavamo una successione limitata estratta da quella di partenza. Eccola: {b_i}, che è una successione costante e il suo limite è 7.

Scusa se l'ho fatta un po' inutilmente tanto lunga, ma ho approfittato per renderlo più chiaro anche a me, scrivendolo per esteso.

[jitter1]

"asromavale": sul punto due(che in parte si trova in allegato al messaggio che segue) non capisco la necessita' di prendere i primi termini delle successioni appartenenti agli intervalli $ I_n $

Non mi è chiarissima questa domanda, ma provo lo stesso. Non mi pare, infatti, che si considerino i primi termini della successione di partenza ${a_n}$.
Si costruisce una successione di intervalli, i cui estremi $c_i$ e $d_i$ non coincidono necessariamente con dei termini della nostra successione ${a_n}$. Questi estremi formano, però, a loro volta una successione limitata. O meglio, gli estremi sinistri formano una successione limitata che ha lo stesso limite della successione degli estremi destri.
Poi si prende non il primo termine $a_(k_1)$ della successione, ma il primo termine della successione $a_(k_1)$ il quale appartiene a [c1, d1] (e questo termine esiste per forza, perché l'intervallo c1, d1 contiene per come l'abbiamo costruito infiniti elementi di {a_n}). Non so se era qui il punto non chiaro.
Alla fine avremo costruito una sottosuccessione di ${a_n}$ "incastrata" fra due successioni (quelle degli estremi degli intervalli) aventi lo stesso limite, e allora entrano in azione i carabinieri...
(Spero che la mia interpretazione della dimostrazione sia corretta).

[asromavale1]

per il primo punto sono apposto per il secondo ho ancora delle perplessità quando dici "Poi si prende non il primo termine a_k1 della successione, ma il primo termine della successione a_k1 il quale appartiene a [c1, d1] (e questo termine esiste per forza, perché l'intervallo c1, d1 contiene per come l'abbiamo costruito infiniti elementi di {a_n})"
cioè sul testo allegato dice sia $a_(n_1)$ il primo termine della successione che appartiene a [c1,d1],sia poi $a_(n_2)$ il primo termine che appartiene a [c2,d2] ecc.
non potrebbe invece essere ad esempio sia $a_(n_1)$ il terzo termine della successione che appartiene a [c1,d1],sia poi $a_(n_2)$ il secondo termine che appartiene a [c2,d2] ecc. cioè perche sceglie di prendere proprio il primo termine

[jitter1]

Ah, forse ho capito quello che intendi... sì, penso si possa prendere anche il terzo termine, o un altro termine qualsiasi: l'importante è costruire una sottosuccessione estratta da $a_n$ e compresa tra le due successioni limitate degli estremi sinistri e destri. Ma siccome per dimostrare il teorema a noi basta trovare una successione con la proprietà "desiderata", scegliere il primo termine tale che... credo sia la via più semplice anche da un punto di vista linguistico.

[asromavale1]

esatto intendevo quello.comunque grazie del tempo dedicatomi

[jitter1]

Grazie a te. Comunque mi sembra spiegato bene quel libro: che testo è?

[asromavale1]

marcellini- sbordone,il testo si chiama calcolo