Teorema bolzano weierstrass

[avmarshall]

salve a tutti. ho dei dubbi sulla dimostrazione di questo teorema la cui formulazione fatta da me è quella con i punti di accumulazione (non so se la dimostrazione è uguale a quella con l'altro enunciato).
in particolare il mio problema è la parte conclusiva, cioè una volta che io divido con l'algoritmo l'intervallo chiuso a,b, ottengo una successione degli elementi a e una degli elementi b. da qui a dire che esiste il punto di accumulazione come ci arrivo?
grazie!

[Seneca1]

Per il lemma di Cantor sulle successioni di intervalli chiusi, incapsulati (decrescenti per inclusione) e dimezzati si ottiene che $EE xi in [a,b]$ tale che $I_1 nn I_2 nn ... nn I_n nn ... = { xi }$. Questo $xi$ è il candidato che dimostrerai essere il punto di accumulazione dell'enunciato del teo. che stai dimostrando. Ora usa la definizione di punto di accumulazione; fissato comunque un intorno di $xi$, da un certo punto in poi la successione degli intervalli come si comporta rispetto all'intorno fissato...? Che proprietà hanno i tuoi intervalli...?

[avmarshall]

se uso la definizione di punto di accumulazione so che per ogni intorno di quella lettera strana (:D) esiste una x appartenente all'insieme di definizione tale che x appartiene all'intorno (con x diverso da quella sorta di epsilon). non vorrei sbagliare ma la definizione mi pare sia questa. questo credo che si traduca (per definizione di intorno) che questo punto epsilon appartiene all'intervallo di centro x e raggio delta (positivo a piacere). giusto?

[Seneca1]

"avmarshall":se uso la definizione di punto di accumulazione so che per ogni intorno di quella lettera strana (:D) esiste una x appartenente all'insieme di definizione tale che x appartiene all'intorno (con x diverso da quella sorta di epsilon).

Sì... (Perché il tuo insieme lo chiami "insieme di definizione"? Chiamalo $A$)

"avmarshall":non vorrei sbagliare ma la definizione mi pare sia questa. questo credo che si traduca (per definizione di intorno) che questo punto epsilon appartiene all'intervallo di centro x e raggio delta (positivo a piacere). giusto?

No. Vuol dire che $AA delta$ , $EE x in A$ tale che $x in (xi - delta , xi + delta)$. Allora puoi dire che $xi$ è un punto di accumulazione per l'insieme $A$.

Il tuo punto soddisfa questa definizione? Prova a prendere un intorno arbitrario di $xi$ (il punto che appartiene a tutti gli $I_n$); esistono punti di $A$ che cadono in $(xi - delta , xi + delta)$?


P.S.: La lettera $xi$ si chiama xi. La puoi scrivere racchiudendo "xi" tra i simboli di dollaro.

[Paolo902]

"Seneca": Vuol dire che $AA delta$ , $EE x in A$ tale che $x in (xi - delta , xi + delta)$. Allora puoi dire che $xi$ è un punto di accumulazione per l'insieme $A$.

Attenzione, vi state dimenticando di un buco

Quella scritta è la definizione di punto di aderenza (o punto che sta nella chiusura di $A$). Essere di accumulazione è più forte ancora e precisamente $xi$ è di accumulazione per $A$ se per ogni $delta>0$, esiste $x in A$ con $x in (xi - delta , xi + delta) setminus \{xi\}$ (o equivalentemente $x!=xi$ e $x in (xi - delta , xi + delta)$).

Tutto chiaro?

[Seneca1]

Sì, naturalmente... Grazie Paolo.

In ogni intorno del punto $xi$ devono cadere punti di $A$ distinti da $xi$.

[avmarshall]

Il tuo punto soddisfa questa definizione? Prova a prendere un intorno arbitrario di ξ (il punto che appartiene a tutti gli In); esistono punti di A che cadono in (ξ−δ,ξ+δ)?

la risposta dovrebbe essere si. per costruzione gli intervalli che ho creato sono uno incastrato all'altro. quindi se vale per quel particolare punto (xi) vale anche per il mio insieme. giusto?