Teorema Bolzano Weierstrass

[delca85]

Ciao a tutti.In classe,dopo sverci dimostrato il teorema di Bolzano Weierstrass seguendo la dimostrazione proprio come è fatta qui https://www.matematicamente.it/teoria/an ... eiers.html ,il professore ci ha chiesto di dimostrare che ogni insieme $A$ infinito e limitato ha almeno un punto di accumulazione.Per aiutarci ci ha detto di ricordare che,siccome $A$ è infinito,c'è una $f:NNrarrA$ iniettiva.Io ho pensato di dire che siccome esiste una $f$ definita $NNrarrA$ esiste una successione $f_n$ che è limitata perche $Im(f_n)subeA$ che è limitato.C'è quindi una successione estratta $f_(n_k)$ che converge per il teorema di Bolzano Weierstrass e il punto di convergenza è anche punto di accumulazione.Il discorso che dimostrando così non utilizzo il fatto che $f$ sia iniettiva e quindi ho paura di commettere qualche errore o saltare qualche passaggio.
Mi potete aiutare?Grazie

[irenze]

L'hai usato implicitamente. Se la $f$ non fosse iniettiva, quei punti potrebbero essere tutti lo stesso punto $x_0$ (che è automaticamente il limite della estratta, dunque il punto che vuoi dimostrare essere di accumulazione). In particolare non avresti dimostrato che in qualunque intorno di $x_0$ PRIVATO DEL PUNTO $x_0$ c'è almeno un elemento della successione.

[delca85]

Ecco cosa mancava,c'era qualcosa che non mi tornava!Grazie mille!