Teorema asintoto orizzontale Cauchy
Ciao a tutti!
Ho riletto più volte le dispense di analisi 2 ma negli esercizi non riesco ad applicare questo teorema. Nei problemi di Cauchy mi viene chiesto di studiare gli asintoti della funzione, quindi devo applicare il teorema dell'asintoto orizzontale.
Quello che non ho capito è come calcolare il limite.
Esempio:
$y'=arctan(y^2-4)log^2(3-t)$
Verifico la presenza di asintoti orizzontali a $+oo$ e $-oo$. Sostituisco ad y il valore $a$ e quindi calcolo il limite:
$lim_(t->+oo) arctan(a^2-4)log^2(3-t)=0$
Il limite del logaritmo tende a $-oo$ quindi non avrò asintoti a $+oo$
E' giusto il procedimento?
Grazie mille
Ciao!
Ho riletto più volte le dispense di analisi 2 ma negli esercizi non riesco ad applicare questo teorema. Nei problemi di Cauchy mi viene chiesto di studiare gli asintoti della funzione, quindi devo applicare il teorema dell'asintoto orizzontale.
Quello che non ho capito è come calcolare il limite.
Esempio:
$y'=arctan(y^2-4)log^2(3-t)$
Verifico la presenza di asintoti orizzontali a $+oo$ e $-oo$. Sostituisco ad y il valore $a$ e quindi calcolo il limite:
$lim_(t->+oo) arctan(a^2-4)log^2(3-t)=0$
Il limite del logaritmo tende a $-oo$ quindi non avrò asintoti a $+oo$
E' giusto il procedimento?
Grazie mille
Ciao!
Risposte
Ciao!
Nessuno ha qualche idea in merito
Grazie mille
Ciaoo!
Nessuno ha qualche idea in merito
Grazie mille
Ciaoo!
Ciao!
Purtroppo non sono ancora riuscito a capire questo teorema
Se mi date qualche dritta poi provo ad impostare il problema
Grazie!
Ciaoo
Purtroppo non sono ancora riuscito a capire questo teorema
Se mi date qualche dritta poi provo ad impostare il problema
Grazie!
Ciaoo
Il teorema che citi (Teorema dell'Asintoto) dice:
Per applicarlo, devi innanzitutto verificare che la soluzione massimale \(y(t)\) del tuo PdC sia definita intorno a \(+\infty\), poi che essa abbia limite finito \(=l\) in \(+\infty\) e che anche \(y^\prime(t)\) abbia limite in \(+\infty\); poi da ciò concludi che \(y^\prime (t)\to 0\) e di qui calcoli \(l\).
Lo stesso per \(-\infty\).
Tuttavia ti rendi conto che, nel tuo caso, intorno a \(+\infty\) non ti è concesso di lavorare (perché?), quindi ti basta andare a vedere cosa succede in \(-\infty\).
Per esempi su queste cose, puoi sfogliare le dispense di Max Berti segnalate qui.
Se \(y(t)\) è una funzione \(C^1\) tale che esistono i limiti:
\[
\lim_{t\to +\infty} y(t) = l \qquad \text{e} \qquad \lim_{t\to +\infty} y^\prime(t) = \beta
\]
e se \(l\) è finito, allora \(\beta=0\).
Lo stesos vale nel caso di \(-\infty\).
Per applicarlo, devi innanzitutto verificare che la soluzione massimale \(y(t)\) del tuo PdC sia definita intorno a \(+\infty\), poi che essa abbia limite finito \(=l\) in \(+\infty\) e che anche \(y^\prime(t)\) abbia limite in \(+\infty\); poi da ciò concludi che \(y^\prime (t)\to 0\) e di qui calcoli \(l\).
Lo stesso per \(-\infty\).
Tuttavia ti rendi conto che, nel tuo caso, intorno a \(+\infty\) non ti è concesso di lavorare (perché?), quindi ti basta andare a vedere cosa succede in \(-\infty\).
Per esempi su queste cose, puoi sfogliare le dispense di Max Berti segnalate qui.
Ciao!
Grazie per la risposta ma purtroppo non ho ancora capito il metodo. Ho guardato nelle dispense che mi hai suggerito, c'è la spiegazione del teorema dell'asintoto ma negli esercizi non riesco a metterlo in pratica.
Riusciresti a scrivermi giusto i primi passaggi da utilizzare.. così poi provo a svolgerlo sul mio esempio.
Grazie mille
Ciao!
Grazie per la risposta ma purtroppo non ho ancora capito il metodo. Ho guardato nelle dispense che mi hai suggerito, c'è la spiegazione del teorema dell'asintoto ma negli esercizi non riesco a metterlo in pratica.
Riusciresti a scrivermi giusto i primi passaggi da utilizzare.. così poi provo a svolgerlo sul mio esempio.
Grazie mille
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