Teo. di unicità nello studio qualitativo delle differenziali
Salve a tutti... probabilmente sarà una domanda che molti riterranno sciocca, ma io non riesc a sbloccarmi... il problema di cauchy che devo studiare è:
$y' = seny / (x + 1)
y(0)=1$
Ho osservato che per le rette orizzontali avente ordinata multipla di pi greco, la derivata si annulla... inoltre studio la mia funzione nella regione di piano delimitata nell'intervallo (-1, + inf) (perchè quando interseca la retta x=-1 la derivata non esiste... vero?? faccio bene a escludere la regione di piano (-inf, -1)??)
Il problema che ho è far vedere che non oltrepassa l'asintoto y=pi greco... sul libro dice che toccandola viene meno il teorema di unicità locale... e non riesco a capire il perchè... la soluzione costante y=pi greco non è soluzione del mio problema... quindi non riesco a capire...
Grazie dell'attenzione...
$y' = seny / (x + 1)
y(0)=1$
Ho osservato che per le rette orizzontali avente ordinata multipla di pi greco, la derivata si annulla... inoltre studio la mia funzione nella regione di piano delimitata nell'intervallo (-1, + inf) (perchè quando interseca la retta x=-1 la derivata non esiste... vero?? faccio bene a escludere la regione di piano (-inf, -1)??)
Il problema che ho è far vedere che non oltrepassa l'asintoto y=pi greco... sul libro dice che toccandola viene meno il teorema di unicità locale... e non riesco a capire il perchè... la soluzione costante y=pi greco non è soluzione del mio problema... quindi non riesco a capire...
Grazie dell'attenzione...
Risposte
Scusate mi sa che ho scritto male la funzione... dovrebbe essere cosi:
$y'=(seny)/(x+1)$
$y'=(seny)/(x+1)$
Il problema che ho è far vedere che non oltrepassa l'asintoto y=pi greco... sul libro dice che toccandola viene meno il teorema di unicità locale... e non riesco a capire il perchè...
le soluzioni di equilibrio sono quelle che annullano la derivata prima. Se accadesse che in un certo "istante" x, la tua soluzione intersecasse quella di equilibrio, in quell'istante avresti due soluzioni e non più un'unica soluzione.
inoltre studio la mia funzione nella regione di piano delimitata nell'intervallo (-1, + inf)....faccio bene a escludere la regione di piano (-inf, -1)??)
quella regione va esclusa perchè lì la derivata non è definita, però dovresti andare a vedere cosa succede sulla frontiera..
Perchè in quell'istaten cis arebbero due soluzioni?? non capisco questo: la retta che tu chiami di equilibrio (ovvero y=pi greco in questo caso) è soluzione del problema di cauchy?? secondo me no, perchè non rispetta la condizione iniziale, e quindi non c'è doppia soluzione in quel punto...
Ora non voglio intasare questo post solo di risposte mie... però ho proseguito gli esercizi sul libro e c'è un altro studio qualitativo... e in questo caso la funzione soluzione interseca la retta dove la derivata si annulla... ecco la funzione in questione:
$ y'= |y - x|
y(0)=a
$
Dunque nello svolgimento dell'esercizio il libro tratta il caso di a compreso fra -1 e 1... e si vede che se a è compreso tra 0 e 1, la mia y(x) soluzione interseca la bisettrice del primo e terzo quadrante (ovvero y=x, dove la derivata si annulla)... perchè in questo caso non c'è soluzione doppia???
$ y'= |y - x|
y(0)=a
$
Dunque nello svolgimento dell'esercizio il libro tratta il caso di a compreso fra -1 e 1... e si vede che se a è compreso tra 0 e 1, la mia y(x) soluzione interseca la bisettrice del primo e terzo quadrante (ovvero y=x, dove la derivata si annulla)... perchè in questo caso non c'è soluzione doppia???
Forse ci sono arrivato con la mia testolina... ditemi se sbaglio qualche ragionamento:
-$y'=(seny)/(x+1)$ qui non può intersecare la retta y=pi greco perchè se la incontrasse in un certo punto $x0$ ci sarebbero due soluzioni da $x0$ in poi: la mia y(x) che sto studiando, e y=pi greco, che rispetta la condizione dell'equazione differenziale (da un certo punto $x0$ in poi, quindi non ci frega niente che non passi per in y(0)=1);
-$y'=|y-x|$ qui può intersecare y=x perchè tanto la bisettrice non rispetta le condizioni dell'eqauzione differenziale (y=x non può essere soluzione perchè non ha derivata nulla, mentre per le condizioni poste, lungo la bisettrice si deve verificare quanto detto);
E' giusto ciò che dico oppure ho tirato a indovinare??
-$y'=(seny)/(x+1)$ qui non può intersecare la retta y=pi greco perchè se la incontrasse in un certo punto $x0$ ci sarebbero due soluzioni da $x0$ in poi: la mia y(x) che sto studiando, e y=pi greco, che rispetta la condizione dell'equazione differenziale (da un certo punto $x0$ in poi, quindi non ci frega niente che non passi per in y(0)=1);
-$y'=|y-x|$ qui può intersecare y=x perchè tanto la bisettrice non rispetta le condizioni dell'eqauzione differenziale (y=x non può essere soluzione perchè non ha derivata nulla, mentre per le condizioni poste, lungo la bisettrice si deve verificare quanto detto);
E' giusto ciò che dico oppure ho tirato a indovinare??
il tuo ragionamento è giusto 
in effetti io, rileggendo quello che ho scritto, non ho chiarito i tuoi dubbi; d'altronde, a volte, basta ragionare un pò sulle cose.... si perde più tempo a scrivere su un forum che a pensare! E' comprensibile, però, che si cerchino conferme da altri, per essere più sicuri di sè....
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