Teo. di derivazione sotto il segno di integrale

[Seneca1]

Teorema: \( (X, \mathcal{A} , \mu ) \) spazio con misura. $a, b \in RR$ ed $f : X \times [a,b] \to [- \infty , \infty]$ tale che
i) $f(*,t)$ è misurabile $AA t \in [a,b]$
ii) $f(x, *)$ è derivabile $AA x \in X$
iii) ed esiste $g >= 0$ integrabile su $X$ tale che
\[ |f(x,t)| + \left | \frac{\partial f}{\partial t} (x,t) \right | \le g(x) \]
allora $\partial/{\partial t} f(*,t)$ è integrabile, $\int_X f(x,t) d\mu(x)$ è derivabile in $t$ e vale
\[ \frac{d}{dt} \int_X f(x,t) d\mu(x) = \int_X \frac{\partial f}{\partial t} (x,t) d\mu(x) \]

Idea:
Devo provare che, sotto le ipotesi suddette, presa $h_n$ successione infinitesima, alla successione di funzioni $\varphi_n (x,t) = \frac{f(x, t + h_n) - f(x,t)}{h_n}$ si può applicare il teorema di convergenza dominata.

Essendo $f(x,*)$ derivabile $\forall x \in X$, applico ad $f$ il teorema di Lagrange nella variabile $t$. $\forall t$, presa $h_n \ne 0$ $\forall n$ ed $n$ abbastanza grande, $EE \xi_n \in [t , t + h_n]$ tale che
\[ \frac{\partial f}{\partial t} (x,\xi_n) = \frac{f(x, t + h_n ) - f(x,t)}{h_n} \]
E dunque \[ |\varphi_n ( x, t)| = \left | \frac{f(x, t + h_n ) - f(x,t)}{h_n} \right | \le g(x) \]
per la iii).

Dunque \[ \frac{d}{dt} \int_X f(x,t) d\mu(x) = \lim_{n \to \infty} \int_X \varphi_n d\mu(x) = \int_X \lim_{n \to \infty} \varphi_n d\mu(x) = \int_X \frac{\partial f}{\partial t} (x, t) d \mu(x)\]

Prima di tutto ha senso quanto ho scritto?
In secondo luogo, sarei curioso di sapere come mai della iii) mi è servito solo \[ \left | \frac{\partial f}{\partial t} (x,t) \right | \le g(x) \]
Mi fa credere di essere partito per la tangente.

[Rigel1]

In effetti l'ipotesi (iii) è ridondante, in quanto è sufficiente richiedere che
\[
(iiia) \qquad \left|\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)\right| \leq g(x) \qquad \forall (x,t).
\]
La dim. mi sembra corretta (l'unico dettaglio che eventualmente si può aggiungere riguarda la misurabilità di \(x\mapsto \frac{\partial f}{\partial t}(x,t)\) che però è in qualche modo implicitamente contenuta nella dimostrazione).

Edit: vedi discussione più avanti. La (iiia) non è sufficiente, in quanto occorre garantire l'integrabilità di \(f(\cdot, t)\).

[Seneca1]

Splendido, Rigel. Ti ringrazio tanto!

[Seneca1]

Ora che ci penso, l'ipotesi iii), scritta a quel modo, implica l'integrabilità di $f$, cosa che non è specificata altrove. Dico bene?

[Rigel1]

In effetti mi sorge un dubbio (anche se ho controllato e ho trovato su un libro il teorema esattamente come te l'ho enunciato).
Come hai osservato, l'ipotesi da te riportata garantisce l'integrabilità per ogni valore del parametro; questa è certamente sovrabbondante, però ho l'impressione che qualcosa vada comunque chiesto.
Una possibilità è richiedere che esista \(t_0 \in [a,b]\) tale che \(f(\cdot, t_0)\) sia sommabile; in tal caso, dalla stima
\[
|f(x, t)| \leq |f(x, t_0)| + g(x) |t-t_0|,
\]
ottieni infatti che \(f(\cdot, t)\) risulta sommabile per ogni valore del parametro.

Tu da dove hai preso l'enunciato in quella forma?

[Seneca1]

Dalle dispense del mio professore. Il tuo dubbio può dipendere dal fatto che, nella trattazione che ho seguito, la sommabilità viene chiamata integrabilità (cioè per me esiste solo la nozione di integrabilità, che coincide con quella di sommabilità)?

[Rigel1]

Temo ci sia un errore nel libro che riporta la dimostrazione senza ipotesi aggiuntive.
Direi che qualcosa tipo quello che ho scritto nel messaggio precedente vada necessariamente richiesto, altrimenti non è difficile costruire controesempi: basta prendere una funzione della forma \(f(x,t) = h(x) + \phi(t)\) con \(h\) non integrabile e \(\phi\) regolare quanto ti pare.

[Seneca1]

D'accordo. In conclusione, se ho capito bene, la condizione iii) tra le ipotesi del teorema che ho riportato è corretta ma sovrabbondante; al contrario, richiedere che la derivata parziale di $f$ si maggiori assolutamente con $g$ integrabile $\forall (x,t)$ è insufficiente a garantire la conclusione... In ogni caso resta valida la dimostrazione che ho fatto, giusto?

Grazie mille!

[Rigel1]

Sì; a occhio direi che il modo migliore di scrivere la (iii) sia:
(iiia) esiste \(g\) integrabile t.c. \(|\partial_t f (x, t)| \leq g(x)\);
(iiib) esiste \(t_0\in [a,b]\) t.c. \(f(\cdot, t_0) \in L^1\).

[Rigel1]

Ok; ho trovato l'enunciato esattamente con le ip. (i), (ii), (iiia)-(iiib) sul libro di Yeh, Real Analysis, Prop. 23.37.

[Seneca1]

Molto interessante, grazie!

P.S.: Volevo sapere la tua opinione sul testo che hai citato. E' ben fatto?

[Rigel1]

"Seneca":P.S.: Volevo sapere la tua opinione sul testo che hai citato. E' ben fatto?

E' estremamente dettagliato (a volte fin troppo). Ha il pregio di contenere molti esempi svolti in dettaglio. Non lo conosco molto bene perché ho cominciato solo recentemente a consultarlo.