Tendenza asintotica
Perché $ (sqrt(x))/(sinh(x)*1) ~ 1/sqrt(x), x-> 0^+$ ?

Risposte
Per definizione!
Scusa, ma credo di essermi perso un pezzo... In che senso per definizione?
Più di un pezzo, temo
Da qualche parte ci sarà scritto [= definizione] che cosa significa che \(f \sim g\). Se applichi quella definizione con le funzioni che hai scritto scopri che è effettivamente così.

Da qualche parte ci sarà scritto [= definizione] che cosa significa che \(f \sim g\). Se applichi quella definizione con le funzioni che hai scritto scopri che è effettivamente così.
Te sai che $x->0, sinhx~x+o(x^2) $, se approssimi al secondo ordine. Quindi $sqrt(x)/sinhx ~ sqrt(x)/x =1/sqrt(x)$.
Se non ricordi lo sviluppo di Taylor con centro in $x=0$ di $sinhx$, puoi comunque ricavartelo tenendo conto che, per definizione, $sinhx=(e^x-e^(-x))/2$, quindi:
$e^x~1+x+x^2/2 +o(x^2)$
Di conseguenza $e^(-x)~1-x+x^2/2 +o(x^2)$
$sinhx~(1+x+x^2/2-1+x-x^2/2)/2 +o(x^2) = x+o(x^2)$
Se non ricordi lo sviluppo di Taylor con centro in $x=0$ di $sinhx$, puoi comunque ricavartelo tenendo conto che, per definizione, $sinhx=(e^x-e^(-x))/2$, quindi:
$e^x~1+x+x^2/2 +o(x^2)$
Di conseguenza $e^(-x)~1-x+x^2/2 +o(x^2)$
$sinhx~(1+x+x^2/2-1+x-x^2/2)/2 +o(x^2) = x+o(x^2)$
@giacosalva
"Regolamento":
1.2 Per aiuto reciproco si intende: discussioni e scambio di informazioni che hanno l'obiettivo di chiarire dubbi, lacune e difficoltà nello svolgimento di un esercizio o nello studio della teoria. Uno scambio di questo tipo arricchisce chi pone correttamente le domande perché può migliorare le sue conoscenze e arricchisce chi fornisce risposte e consigli perché ha modo di rafforzare le proprie conoscenze, valutare e migliorare la propria capacità di comunicare e insegnare. NON è da intendersi scambio culturale la semplice richiesta di risoluzione di un esercizio. Chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire.

"giacosalva":
Te sai che $x->0, sinhx~x+o(x^2) $, se approssimi al secondo ordine. Quindi $sqrt(x)/sinhx ~ sqrt(x)/x =1/sqrt(x)$.
Se non ricordi lo sviluppo di Taylor con centro in $x=0$ di $sinhx$, puoi comunque ricavartelo tenendo conto che, per definizione, $sinhx=(e^x-e^(-x))/2$, quindi:
$e^x~1+x+x^2/2 +o(x^2)$
Di conseguenza $e^(-x)~1-x+x^2/2 +o(x^2)$
$sinhx~(1+x+x^2/2-1+x-x^2/2)/2 +o(x^2) = x+o(x^2)$
"Raptorista":
Più di un pezzo, temo![]()
Da qualche parte ci sarà scritto [= definizione] che cosa significa che \( f \sim g \). Se applichi quella definizione con le funzioni che hai scritto scopri che è effettivamente così.
Fortunatamente ci sono arrivato da solo pensandoci attentamente, ma vi ringrazio ugualmente per il vostro aiuto.
