Tema con variazioni...
Ragazzi
oggi proveremo ad impostare una simpatica divagazione prendendo spunto da un problema proposto da un forumista all’inizio della settimana, problema che mi è parso subito assai ‘suggestivo’ . Prima però una piccola premessa che spero non vi dispiaccia. Fin dal primo anno di università sono stato attratto dalle serie numeriche, e questo per più di una ragione. Da una parte ero stimolato da alcuni aspetti ‘paradossali’ legati alla somma di un numero infinito di termini [basti pensare al fatto che la proprietà commutativa, vera e propria ‘pietra miliare’ dell’operazione di somma, non sempre è valida per le serie…], dall’altra dalla convinzione che già allora avevo [e che si è sempre più rafforzata nel corso degli anni…] che le fondamenta stesse della Matematica si basino unicamente sulle quattro operazioni elementari [le sole che un computer è in grado di fare…] e la somma è naturalmente una di queste. Così quando il forumista in questione ha proposto lo studio di una serie [vedi https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=16147 ], essa ha subito solleticato la mia curiosità. La serie, davvero suggestiva, è la seguente…
$sum_(n=1)^(oo) 1-cos (1/n)$ (1)
Che essa sia convergente può essere dimostrato in più di un modo. Da parte mia ho scelto istintivamente l’approccio ‘scientifico’ e partendo dallo sviluppo…
$1 – cos (1/n) = sum_(k=1)^(oo) (-1)^(k-1)/(n^(2k)*(2k)!)$ (2)
… con un poco di passaggi ho trovato…
$ sum_(n=1)^(oo) 1-cos (1/n) = sum_(n=1)^(oo)*sum_(k=1)^(oo) (-1)^(k-1)/(n^(2k)*(2k)!)=$
$=sum_(k=1)^(oo) (-1)^(k-1)/((2k)!)* sum_(n=1)^(oo) 1/(n^(2k))= sum_(k=1)^(oo) (-1)^(k-1)/((2k)!)* zeta(2k)$ (3)
… dove $zeta(x)$ è la cosiddetta ‘funzione di Riemann’ definita come…
$zeta(x) = sum_(n=1)^(oo) 1/(n^x)$ (4)
Per $x>2$ è noto che è $1
a) sommare i termini della serie originale
b) sommare i termini della serie data dalla (3)
La via a) è resa tortuosa dal fatto che la (1) è una serie a termini positivi e ciò di solito non fornisce un criterio sicuro del grado di precisione raggiunto interrompendo la somma ad un certo indice $n$. Supponiamo di voler calcolare la (1) con precisione di 12 cifre. Un criterio molto approssimativo dell’errore che si commette è paragonare troncando la serie al termine $n-1$ è dato dal valore del termine $n$, ossia il primo termine trascurato. Nel nostro caso per avere un termine della (1) inferiore a $10^(-12)$ occorrerebbe $n$ dell’ordine del milione [$1-cos 10^(-6)= .5*10^(-12)$] …
non sembra proprio che la strada imboccata sia agevole da percorrere… 
Se dunque la strada a) non è percorribile proviamo cl la strada b), ovvero il calcolo della serie…
$sum_(k=1)^(oo) (-1)^(k-1)/((2k)!)* zeta(2k)$ (5)
Si tratta di una serie a termini alterni per cui si è certi che l’errore commesso non supera in modulo il primo termine tralasciato. Se ci arrestiamo a $k=5$ sarà $epsilon< 1/(12!)= 2.08*10^(-9)$. Se ci arrestiamo a $k=6$ sarà $epsilon<1/(14!)= 1.14*10^(-11)$. Se ci arrestiamo a $k=7$ sarà $epsilon<1/(16!)= 4.78*10^(-14)$. Però!… sembra che si ottenga la precisione richiesta sommando sette termini della (5)…
sette invece di alcuni milioni!… 
La strada da seguire è evidentemente la b)… solo che occorre calcolarsi i valori delle $zeta(2k)$… Certo per questo ci sono i manuali dove uno se li trova già belli che pronti ma lo scopo che ci si propone è provare a farne a meno e vedere quali ‘sorprese’ il calcolo ci riserva… Partiamo così un po’ da lontano con un bell’esercizietto per i più volonterosi tra voi. Data la funzione…
$f(z)= z/(e^z-1)$ (6)
… si deve…
a) dimostrare che è analitica in $z=0$
b) calcolare i termini $a_n$ dello sviluppo di Taylor nell’intorno di $z=0$ fino a $n=14$
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
oggi proveremo ad impostare una simpatica divagazione prendendo spunto da un problema proposto da un forumista all’inizio della settimana, problema che mi è parso subito assai ‘suggestivo’ . Prima però una piccola premessa che spero non vi dispiaccia. Fin dal primo anno di università sono stato attratto dalle serie numeriche, e questo per più di una ragione. Da una parte ero stimolato da alcuni aspetti ‘paradossali’ legati alla somma di un numero infinito di termini [basti pensare al fatto che la proprietà commutativa, vera e propria ‘pietra miliare’ dell’operazione di somma, non sempre è valida per le serie…], dall’altra dalla convinzione che già allora avevo [e che si è sempre più rafforzata nel corso degli anni…] che le fondamenta stesse della Matematica si basino unicamente sulle quattro operazioni elementari [le sole che un computer è in grado di fare…] e la somma è naturalmente una di queste. Così quando il forumista in questione ha proposto lo studio di una serie [vedi https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=16147 ], essa ha subito solleticato la mia curiosità. La serie, davvero suggestiva, è la seguente…
$sum_(n=1)^(oo) 1-cos (1/n)$ (1)
Che essa sia convergente può essere dimostrato in più di un modo. Da parte mia ho scelto istintivamente l’approccio ‘scientifico’ e partendo dallo sviluppo…
$1 – cos (1/n) = sum_(k=1)^(oo) (-1)^(k-1)/(n^(2k)*(2k)!)$ (2)
… con un poco di passaggi ho trovato…
$ sum_(n=1)^(oo) 1-cos (1/n) = sum_(n=1)^(oo)*sum_(k=1)^(oo) (-1)^(k-1)/(n^(2k)*(2k)!)=$
$=sum_(k=1)^(oo) (-1)^(k-1)/((2k)!)* sum_(n=1)^(oo) 1/(n^(2k))= sum_(k=1)^(oo) (-1)^(k-1)/((2k)!)* zeta(2k)$ (3)
… dove $zeta(x)$ è la cosiddetta ‘funzione di Riemann’ definita come…
$zeta(x) = sum_(n=1)^(oo) 1/(n^x)$ (4)
Per $x>2$ è noto che è $1
a) sommare i termini della serie originale
b) sommare i termini della serie data dalla (3)
La via a) è resa tortuosa dal fatto che la (1) è una serie a termini positivi e ciò di solito non fornisce un criterio sicuro del grado di precisione raggiunto interrompendo la somma ad un certo indice $n$. Supponiamo di voler calcolare la (1) con precisione di 12 cifre. Un criterio molto approssimativo dell’errore che si commette è paragonare troncando la serie al termine $n-1$ è dato dal valore del termine $n$, ossia il primo termine trascurato. Nel nostro caso per avere un termine della (1) inferiore a $10^(-12)$ occorrerebbe $n$ dell’ordine del milione [$1-cos 10^(-6)= .5*10^(-12)$] …
non sembra proprio che la strada imboccata sia agevole da percorrere… Se dunque la strada a) non è percorribile proviamo cl la strada b), ovvero il calcolo della serie…
$sum_(k=1)^(oo) (-1)^(k-1)/((2k)!)* zeta(2k)$ (5)
Si tratta di una serie a termini alterni per cui si è certi che l’errore commesso non supera in modulo il primo termine tralasciato. Se ci arrestiamo a $k=5$ sarà $epsilon< 1/(12!)= 2.08*10^(-9)$. Se ci arrestiamo a $k=6$ sarà $epsilon<1/(14!)= 1.14*10^(-11)$. Se ci arrestiamo a $k=7$ sarà $epsilon<1/(16!)= 4.78*10^(-14)$. Però!… sembra che si ottenga la precisione richiesta sommando sette termini della (5)…
sette invece di alcuni milioni!… La strada da seguire è evidentemente la b)… solo che occorre calcolarsi i valori delle $zeta(2k)$… Certo per questo ci sono i manuali dove uno se li trova già belli che pronti ma lo scopo che ci si propone è provare a farne a meno e vedere quali ‘sorprese’ il calcolo ci riserva… Partiamo così un po’ da lontano con un bell’esercizietto per i più volonterosi tra voi. Data la funzione…
$f(z)= z/(e^z-1)$ (6)
… si deve…
a) dimostrare che è analitica in $z=0$
b) calcolare i termini $a_n$ dello sviluppo di Taylor nell’intorno di $z=0$ fino a $n=14$
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Risposte
a) Consideriamo una circonferenza centrata nell'origine di raggio arbitrario... l'integrale di $f(z)$ esteso a tale circonferenza dipende soltanto dai residui relativi ai poli contenuti all'interno della circonferenza. L'unico punto in cui la funzione potrebbe non essere analitica è lo $0$. Tuttavia con semplicissimi passaggi si vede che $f(z)$ è prolungabile per continuità in $0$, quindi indicando ora per semplicità con $f(z)$ il suo prolungamento, abbiamo che $f(z)$ è continua in $0$ e per ogni scelta del raggio della circonferenza su cui integrare, $f(z)$ non presenta poli all'interno della curva, sicché l'integrale cercato è nullo ed $f(z)$ è olomorfa in tutto il cerchio, $0$ compreso.
b) Non avrei problemi a svolgere i conti, ma sono troppo lunghi... immagino ci sia sotto qualcosa, vero?
b) Non avrei problemi a svolgere i conti, ma sono troppo lunghi... immagino ci sia sotto qualcosa, vero?
Perfetto caro Kroldar!… anzi no… quasi perfetto… 
Si dà il caso infatti che la funzione…
$f(z)= z/(e^z-1)$ (1)
… abbia un numero infinito di singolarità in corrispondenza dei valori di $z=j*k*2*pi$ con la sola eccezione di $k=0$ e perciò il cerchio centrato in $z=0$ cui tu accenni non può essere ‘di raggio arbitrario’ bensì di raggio $r<2*pi$… la prossima volta che fai un errore del genere ti spegneranno un paio di lampadine!…
A parte questo dettaglio direi che sul fatto che la (1) sia analitica in $z=0$ [per ‘prolungamento’ o per altra causa poco importa…] tu ed io siamo d’accordo. Prendendo il problema ‘alla Cauchy’ possiamo dunque dire che la (1) è analitica in quanto [lascio la verifica ai ‘volonterosi’…] su un cerchio centrato in $z=0$ e di raggio $r<2*pi$ è…
$int_C z/(e^z-1)*dz=0$ (2)
Sempre seguendo le orme di Cauchy possiamo dire che lo sviluppo della (1) nell’intorno di $z=0$ è dato dall’espressione…
$z/(e^z-1)= sum_(n=0)^(oo) B_n*z^n/(n!)$ (3)
... ove le $B_n$ [il motivo della ‘B’ sarò chiaro in un secondo tempo…] sono date da…
$B_n= f^(n) (z)_(z=0) = (n!)/(2*pi*j)*int_C f(z)/(z^(n+1))*dz= (n!)/(2*pi*j)*int_C dz/((e^z-1)*z^n)*dz$ (4)
Caro Kroldar, se ho ben capito hai detto a questo punto che il calcolo delle $B_n$ con la (4) fino a $n=14$ è a little unpleasant… in effetti non hai tutti i torti… c’è qualcun altro che ha qualche idea in proposito?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Si dà il caso infatti che la funzione…
$f(z)= z/(e^z-1)$ (1)
… abbia un numero infinito di singolarità in corrispondenza dei valori di $z=j*k*2*pi$ con la sola eccezione di $k=0$ e perciò il cerchio centrato in $z=0$ cui tu accenni non può essere ‘di raggio arbitrario’ bensì di raggio $r<2*pi$… la prossima volta che fai un errore del genere ti spegneranno un paio di lampadine!…
A parte questo dettaglio direi che sul fatto che la (1) sia analitica in $z=0$ [per ‘prolungamento’ o per altra causa poco importa…] tu ed io siamo d’accordo. Prendendo il problema ‘alla Cauchy’ possiamo dunque dire che la (1) è analitica in quanto [lascio la verifica ai ‘volonterosi’…] su un cerchio centrato in $z=0$ e di raggio $r<2*pi$ è…
$int_C z/(e^z-1)*dz=0$ (2)
Sempre seguendo le orme di Cauchy possiamo dire che lo sviluppo della (1) nell’intorno di $z=0$ è dato dall’espressione…
$z/(e^z-1)= sum_(n=0)^(oo) B_n*z^n/(n!)$ (3)
... ove le $B_n$ [il motivo della ‘B’ sarò chiaro in un secondo tempo…] sono date da…
$B_n= f^(n) (z)_(z=0) = (n!)/(2*pi*j)*int_C f(z)/(z^(n+1))*dz= (n!)/(2*pi*j)*int_C dz/((e^z-1)*z^n)*dz$ (4)
Caro Kroldar, se ho ben capito hai detto a questo punto che il calcolo delle $B_n$ con la (4) fino a $n=14$ è a little unpleasant… in effetti non hai tutti i torti… c’è qualcun altro che ha qualche idea in proposito?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
scusate l'ignoranza.. 
che significa che una funzione è analitica?
grazie in anticipo
che significa che una funzione è analitica?
grazie in anticipo
Una funzione di variabile complessa $f(z)$ si dice analitica in $z=a$ se in tal punto esiste la derivata. In tal caso in $z=a$ esistono anche le derivate di tutti gli ordini e in un intorno di $z=a$ è...
$f(z)= sum_(n=0)^(oo) f^(n) (a) * (z-a)^n/(n!)$ (1)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$f(z)= sum_(n=0)^(oo) f^(n) (a) * (z-a)^n/(n!)$ (1)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Premessa
Una funzione f definita in un intervallo aperto I della retta reale è detta analitica quando per ogni $ x in I $, esistono :
un numero $delta >0 $ tale che $(x-delta,x+delta) sube I $
e una serie di potenze di centro 0 convergente a $ f(x+h) $per ogni h reale tale che $|h| < delta $ .
Si può estendere in modo naturale la premessa e dare la seguente definizione :
Una funzione f definita in un aperto $Omega sube CC $ è detta analitica quando, per ogni $z in Omega $ , esistono:
un numero $delta > 0 $ tale che il disco $B_delta(z) $ sia incluso in $Omega$
e una serie di potenze di centro 0 convergente a $f(z+h) $ per ogni h complesso tale che $|h| < delta $.
Una funzione f definita in un intervallo aperto I della retta reale è detta analitica quando per ogni $ x in I $, esistono :
un numero $delta >0 $ tale che $(x-delta,x+delta) sube I $
e una serie di potenze di centro 0 convergente a $ f(x+h) $per ogni h reale tale che $|h| < delta $ .
Si può estendere in modo naturale la premessa e dare la seguente definizione :
Una funzione f definita in un aperto $Omega sube CC $ è detta analitica quando, per ogni $z in Omega $ , esistono:
un numero $delta > 0 $ tale che il disco $B_delta(z) $ sia incluso in $Omega$
e una serie di potenze di centro 0 convergente a $f(z+h) $ per ogni h complesso tale che $|h| < delta $.
"lupo grigio":
Si dà il caso infatti che la funzione…
$f(z)= z/(e^z-1)$ (1)
… abbia un numero infinito di singolarità in corrispondenza dei valori di $z=j*k*2*pi$ con la sola eccezione di $k=0$ e perciò il cerchio centrato in $z=0$ cui tu accenni non può essere ‘di raggio arbitrario’ bensì di raggio $r<2*pi$… la prossima volta che fai un errore del genere ti spegneranno un paio di lampadine!…
Ooops... scusa hai ragione. Non trattando più le singolarità dai tempi dell'esame di Metodi Matematici avevo dimenticato la periodicità dell'esponenziale complesso
Non so se serve ma i coeff. B sono i numeri di Bernoulli.
Essi si possono calcolare per ricorrenza col cosiddetto
"Calcolo umbratile". mediante la formula simbolica:
$(B+1)^(k+1)-B^(k+1)=k+1$ k=0,1,2,....
Il termine "umbratile" si spiega col fatto che nello sviluppo
occorre poi "far scendere" ogni esponente ad indice (come
fosse un'ombra ai piedi della B)
Mi spiego con esempi.
Sia k=1:
$B^2+2B^1+1-B^2=2$ e spostando in basso gli esponenti:
$B_2+2B_1+1-B_2=2$ da cui $B_1=1/2$ che e' il primo numero di B.
k=2:
$(B+1)^3-B^3=3$-> $B_3+3B_2+3B_1+1-B_3=3$ da cui $B_2=1/6$
Ecco un elenco piu' completo:
$B_1=1/2,B_2=1/6,B_3=0,B_4=-1/(30),B_5=0,B_6=1/(42)$
$B_7=0,B_8=-1/30,B_9=0,B_(10)=5/(66),B_(11)=0,B_(12)=-(691)/(2730),B_(13)=0,B_(14)=7/6$
Come si vede ,i coeff. di indice dispari (tranne $B_1$) sono tutti nulli.
karl
Essi si possono calcolare per ricorrenza col cosiddetto
"Calcolo umbratile". mediante la formula simbolica:
$(B+1)^(k+1)-B^(k+1)=k+1$ k=0,1,2,....
Il termine "umbratile" si spiega col fatto che nello sviluppo
occorre poi "far scendere" ogni esponente ad indice (come
fosse un'ombra ai piedi della B)
Mi spiego con esempi.
Sia k=1:
$B^2+2B^1+1-B^2=2$ e spostando in basso gli esponenti:
$B_2+2B_1+1-B_2=2$ da cui $B_1=1/2$ che e' il primo numero di B.
k=2:
$(B+1)^3-B^3=3$-> $B_3+3B_2+3B_1+1-B_3=3$ da cui $B_2=1/6$
Ecco un elenco piu' completo:
$B_1=1/2,B_2=1/6,B_3=0,B_4=-1/(30),B_5=0,B_6=1/(42)$
$B_7=0,B_8=-1/30,B_9=0,B_(10)=5/(66),B_(11)=0,B_(12)=-(691)/(2730),B_(13)=0,B_(14)=7/6$
Come si vede ,i coeff. di indice dispari (tranne $B_1$) sono tutti nulli.
karl
Complimenti sinceri karl... non ci sarei mai arrivato ai numeri di Bernoulli
Permettimi ora una domanda...
...se anziché spostare l'esponente $2$ ad indice lo si lasciasse così com'è che cambierebbe? andrebbe via in ogni caso no?
E allora perché spostarlo?
Permettimi ora una domanda...
"karl":
$B^2+2B^1+1-B^2=2$ e spostando in basso gli esponenti:
$B_2-2B_1+1-B_2=2$ da cui $B_1=1/2$ che e' il primo numero di B.
...se anziché spostare l'esponente $2$ ad indice lo si lasciasse così com'è che cambierebbe? andrebbe via in ogni caso no?
E allora perché spostarlo?
Ok Karl!… in effetti ho lasciato trapelare un indizio consistente allorché ho designato con ‘$B_n$’ le derivate di $f(z)=z/(e^z-1)$ in $z=0$…
Anche chi non avesse mai sentito parlare i ‘numeri di Bernoulli’ [noti per altro già tre secoli fa…] poteva ugualmente arrivare a calcolare le $B_n$ seguendo un metodo assai semplice. Consideriamo la funzione…
$g(z)=1/f(z)= (e^z-1)/z$ (1)
... la quale è il rapporto di due funzioni analitiche di grado 1 in $z=0$. La $g(z)$ sarà quindi analitica di grado 0 in $z=0$ e il suo sviluppo è dato da…
$g(z)= sum_(n=0)^(oo) (z^n)/((n+1)!)$ (2)
In passato ho spiegato che data una funzione analitica di grado 0 in $z=0$ $g(z)= sum_(n=0)^(oo) a_n*z^n$, la funzione $f(z)=1/g(z)= sum_(n=0)^(oo) b_n*z^n$ è anch’essa analitica di grado 0 in $z=0$ e le $b_n$ si ricavano in questo modo…
$b_0=1/(a_0)
$b_1=- (b_0*a_1)/(a_0)$
$b_2=- (b_0*a_2+b_1*a_1)/(a_0)$
…
$b_n= -(b_0*a_n+b_1*a_(n-1)+… +b_(n-1)*a_1)/(a_0)$ (3)
Nel nostro caso $a_n=1/((n+1)!)$ per cui… basta fare i calcoli appropriati...
Complimenti anche da parte mia Karl!... ... e a risentirci domani!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Anche chi non avesse mai sentito parlare i ‘numeri di Bernoulli’ [noti per altro già tre secoli fa…] poteva ugualmente arrivare a calcolare le $B_n$ seguendo un metodo assai semplice. Consideriamo la funzione…
$g(z)=1/f(z)= (e^z-1)/z$ (1)
... la quale è il rapporto di due funzioni analitiche di grado 1 in $z=0$. La $g(z)$ sarà quindi analitica di grado 0 in $z=0$ e il suo sviluppo è dato da…
$g(z)= sum_(n=0)^(oo) (z^n)/((n+1)!)$ (2)
In passato ho spiegato che data una funzione analitica di grado 0 in $z=0$ $g(z)= sum_(n=0)^(oo) a_n*z^n$, la funzione $f(z)=1/g(z)= sum_(n=0)^(oo) b_n*z^n$ è anch’essa analitica di grado 0 in $z=0$ e le $b_n$ si ricavano in questo modo…
$b_0=1/(a_0)
$b_1=- (b_0*a_1)/(a_0)$
$b_2=- (b_0*a_2+b_1*a_1)/(a_0)$
…
$b_n= -(b_0*a_n+b_1*a_(n-1)+… +b_(n-1)*a_1)/(a_0)$ (3)
Nel nostro caso $a_n=1/((n+1)!)$ per cui… basta fare i calcoli appropriati...
Complimenti anche da parte mia Karl!...
... e a risentirci domani!... cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Grazie per i complimenti ma ,come dice lupo grigio,gli indizi erano palesi.
Non tanto per la lettera "B" ,quanto perche' e' noto dall'Analisi numerica
che la $z/(e^z-1)$ e' proprio la funzione generatrice dei numeri di Bernouilli.
Quanto a far scendere gli esponenti anche per i termini che comunque si elidono,
lo possiamo considerare come una questione di estetica e di omogeneita'.
E' forse piu' corretto che il metodo delle ombre agisca su tutti i termini
anziche' su alcuni sì e su altri no...
Almeno cosi' la penso.
Saluti.
karl
P.S.
I numeri di Bernoulli intervengono in numerose questioni come per
esempio nel calcolo della somma delle potenze k-esime dei primi n numeri
naturali.Su cui,mi pare di ricordare ,si e' intrattenuto proprio lupo grigio.
Non tanto per la lettera "B" ,quanto perche' e' noto dall'Analisi numerica
che la $z/(e^z-1)$ e' proprio la funzione generatrice dei numeri di Bernouilli.
Quanto a far scendere gli esponenti anche per i termini che comunque si elidono,
lo possiamo considerare come una questione di estetica e di omogeneita'.
E' forse piu' corretto che il metodo delle ombre agisca su tutti i termini
anziche' su alcuni sì e su altri no...
Almeno cosi' la penso.
Saluti.
karl
P.S.
I numeri di Bernoulli intervengono in numerose questioni come per
esempio nel calcolo della somma delle potenze k-esime dei primi n numeri
naturali.Su cui,mi pare di ricordare ,si e' intrattenuto proprio lupo grigio.
Ragazzi
riprendiamo il discorso da dove eravamo rimasti… e cioè il calcolo delle $B_n$ che compaiono nello sviluppo in serie di Taylor seguente…
$f(z)=z/(e^z-1)= sum_(n=0)^(oo) b_n*z^n = sum_(n=0)^(oo) B_n*z^n/(n!)$ (1)
Si è detto di partire dallo sviluppo in serie seguente…
$g(z)=1/f(z)= (e^z-1)/z= sum_(n=0)^(oo) a_n*z^n = sum_(n=0)^(oo) z^n/((n+1)!)$ (2)
e poi calcolare le $b_n$ in maniera iterativa come segue…
$b_0=1/(a_0)
$b_1= - (b_0*a_1)/(a_0)$
$b_2= - (b_0*a_2+b_1*a_1)/(a_0)$
…
$b_n= -(b_0*a_n+b_1*a_(n-1)+… +b_(n-1)*a_1)/(a_0)$ (2)
Nel nostro caso $a_n=1/((n+1)!)$ e una volta calcolata una $b_n$ si calcola subito la $B_n=b_n*n!$. Non resta che procedere…
$b_0=a_0=1$ -> $B_0= 1*0! = 1$
$b_1=-b_0*a_1=-1/2$ -> $B_1= -1/2*1! = -1/2$
$b_2= -b_0*a_2-b_1*a_1= 1/12$ -> $B_2=1/12*2! = 1/6$
$b_3=-b_0*a_3-b_1*a_2-b_2*a_1= 0$ -> $B_3=0*3! = 0$
$b_4=-b_0*a_4-b_1*a_3-… -b_3*a_1=-1/720$ -> $B_4=-1/720*4! = -1/30$
$b_5=-b_0*a_5-b_1*a_4-… -b_4*a_1= 0 ->B_5=0*5! = 0$
$b_6=-b_0*a_6-b1*a_5-… b_5*a_1= 1/30240$ -> $B_6= 1/30240*6! = 1/42$
$b_7= -b_0*a_7-b_1*a_6-…-b_6*a_1=0$ -> $B_7=0*7! = 0$
$b_8=-b_0*a_8-b_1*a_7… -b_7*a_1=-1/1209600$ -> $B_8= -1/1209600*8! = -1/30$
$b_9=-b_0*a_9-b_1*a_8-…-b_8*a_1=0$ -> $B_9=0*9! =0$
$b_10=-b_0*a_10-b_1*a_9-…-b_9*a_1= 1/47900160$-> $B_10= 1/47900160*10! =5/66$
$b_11=-b_0*a_11-b_1*a_10-…-b_10*a_1=0$-> $B_11=0*11! = 0$
$b_12=-b_0*a_12-b_1*a_11-…-b_11*a_1= -1/1892437580$ -> $B_12= -1/1892437580 *12! = -691/2730$
$b_13=-b_0*a_13-b_1*a_12-…-b_12*a_1=0$ -> $B_13=0*13! =0$
$b_14=-b_o*a_14-b_1*a_13-…-b_13*a_1= 1/74724249600$ -> $B_14= 1/74724249600 *14! =7/6$ (3)
Come giustamente segnalato le $B_n$ [note comunemente come ‘numeri di Bernuolli’…] sono nulle per $n$ dispari con la sola eccezione del caso $n=1$. Naturalmente è possibile andare avanti ma per gli scopi più immediati possiamo anche fermarci a $n=14$… più avanti si vedrà…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
riprendiamo il discorso da dove eravamo rimasti… e cioè il calcolo delle $B_n$ che compaiono nello sviluppo in serie di Taylor seguente…
$f(z)=z/(e^z-1)= sum_(n=0)^(oo) b_n*z^n = sum_(n=0)^(oo) B_n*z^n/(n!)$ (1)
Si è detto di partire dallo sviluppo in serie seguente…
$g(z)=1/f(z)= (e^z-1)/z= sum_(n=0)^(oo) a_n*z^n = sum_(n=0)^(oo) z^n/((n+1)!)$ (2)
e poi calcolare le $b_n$ in maniera iterativa come segue…
$b_0=1/(a_0)
$b_1= - (b_0*a_1)/(a_0)$
$b_2= - (b_0*a_2+b_1*a_1)/(a_0)$
…
$b_n= -(b_0*a_n+b_1*a_(n-1)+… +b_(n-1)*a_1)/(a_0)$ (2)
Nel nostro caso $a_n=1/((n+1)!)$ e una volta calcolata una $b_n$ si calcola subito la $B_n=b_n*n!$. Non resta che procedere…
$b_0=a_0=1$ -> $B_0= 1*0! = 1$
$b_1=-b_0*a_1=-1/2$ -> $B_1= -1/2*1! = -1/2$
$b_2= -b_0*a_2-b_1*a_1= 1/12$ -> $B_2=1/12*2! = 1/6$
$b_3=-b_0*a_3-b_1*a_2-b_2*a_1= 0$ -> $B_3=0*3! = 0$
$b_4=-b_0*a_4-b_1*a_3-… -b_3*a_1=-1/720$ -> $B_4=-1/720*4! = -1/30$
$b_5=-b_0*a_5-b_1*a_4-… -b_4*a_1= 0 ->B_5=0*5! = 0$
$b_6=-b_0*a_6-b1*a_5-… b_5*a_1= 1/30240$ -> $B_6= 1/30240*6! = 1/42$
$b_7= -b_0*a_7-b_1*a_6-…-b_6*a_1=0$ -> $B_7=0*7! = 0$
$b_8=-b_0*a_8-b_1*a_7… -b_7*a_1=-1/1209600$ -> $B_8= -1/1209600*8! = -1/30$
$b_9=-b_0*a_9-b_1*a_8-…-b_8*a_1=0$ -> $B_9=0*9! =0$
$b_10=-b_0*a_10-b_1*a_9-…-b_9*a_1= 1/47900160$-> $B_10= 1/47900160*10! =5/66$
$b_11=-b_0*a_11-b_1*a_10-…-b_10*a_1=0$-> $B_11=0*11! = 0$
$b_12=-b_0*a_12-b_1*a_11-…-b_11*a_1= -1/1892437580$ -> $B_12= -1/1892437580 *12! = -691/2730$
$b_13=-b_0*a_13-b_1*a_12-…-b_12*a_1=0$ -> $B_13=0*13! =0$
$b_14=-b_o*a_14-b_1*a_13-…-b_13*a_1= 1/74724249600$ -> $B_14= 1/74724249600 *14! =7/6$ (3)
Come giustamente segnalato le $B_n$ [note comunemente come ‘numeri di Bernuolli’…] sono nulle per $n$ dispari con la sola eccezione del caso $n=1$. Naturalmente è possibile andare avanti ma per gli scopi più immediati possiamo anche fermarci a $n=14$… più avanti si vedrà…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
I numeri di Bernoulli che abbiamo sommariamente descritto non sono tanto importanti di per sé, quanto piuttosto per il fatto che grazie contribuiscono a formare i mattoni dei polinomi omonimi, ossia i polinomi di Bernoulli. Polinomio di Bernoulli di grado $n$ è per definizione il seguente…
$B_n(x)= sum_(k=0)^n* ((n),(k))*B_(n-k)*x^k$ (1)
... ove gli $((n),(k))= (n*(n-1)*…*(n-k+1))/(k!)$ sono i noti coefficienti binomiali e le $B_k$ sono i già citati numeri di Bernoulli. Occorre naturalmente prestare attenzione a non confondere le $B_n$ con i $B_n(x)$ dal momento che i primi sono numeri e i secondi polinomi in $x$. Ecco alcuni polinomi di Bernoulli…
$B_0(x)=1$
$B_1(x)= x-1/2$
$B_2(x)=x^2-x+1/6$
$B_3(x)=x^3-3/2*x^2+1/2*x$
$B_4(x)=x^4-2*x^3+x^2-1/30$
$B_5(x)= x^5-5/2*x^4+5/3*x^2-1/6*x$
… (2)
Questi polinomi godono di alcune simpatiche proprietà quali …
$B_n(x+1)= B_n(x)+n*x^(n-1)$ (3)
$int_0^1 B_n(x)*dx=0$ , $n>0$ (4)
Queste e altre proprità sono conseguenza abbastanza immediata dell'espressione che fornisce la derivata $B’_n(x)$. Procedendo ‘formalmente’ dalla (1) si ottiene…
$B’_n(x)= sum_(k=1)^n *((n),(k))*k*B_(n-k)*x^(k-1)$ (5)
… e sfruttando l’identità $k*((n),(k))= n/k*((n-1),(k-1))$ si arriva a scrivere…
$B’_n(x)= sum_(k=1)^n *((n),(k))*k*B_(n-k)*x^(k-1)=$
$=n*sum_(k=0)^(n-1) *((n-1),(k))*k*B_(n-k-1)*x^(k)= n*B_(n-1)(x)$ (6)
Questo naturalmente ci porta a scrivere che…
$int_a^b B_n(x)*dx=1/(n+1)*[B_(n+1)(b)-B_(n+1)(a)]$ (7)
… relazione che ci tornerà utilissima…
cordiali saluti… e buon fine settimana!…
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$B_n(x)= sum_(k=0)^n* ((n),(k))*B_(n-k)*x^k$ (1)
... ove gli $((n),(k))= (n*(n-1)*…*(n-k+1))/(k!)$ sono i noti coefficienti binomiali e le $B_k$ sono i già citati numeri di Bernoulli. Occorre naturalmente prestare attenzione a non confondere le $B_n$ con i $B_n(x)$ dal momento che i primi sono numeri e i secondi polinomi in $x$. Ecco alcuni polinomi di Bernoulli…
$B_0(x)=1$
$B_1(x)= x-1/2$
$B_2(x)=x^2-x+1/6$
$B_3(x)=x^3-3/2*x^2+1/2*x$
$B_4(x)=x^4-2*x^3+x^2-1/30$
$B_5(x)= x^5-5/2*x^4+5/3*x^2-1/6*x$
… (2)
Questi polinomi godono di alcune simpatiche proprietà quali …
$B_n(x+1)= B_n(x)+n*x^(n-1)$ (3)
$int_0^1 B_n(x)*dx=0$ , $n>0$ (4)
Queste e altre proprità sono conseguenza abbastanza immediata dell'espressione che fornisce la derivata $B’_n(x)$. Procedendo ‘formalmente’ dalla (1) si ottiene…
$B’_n(x)= sum_(k=1)^n *((n),(k))*k*B_(n-k)*x^(k-1)$ (5)
… e sfruttando l’identità $k*((n),(k))= n/k*((n-1),(k-1))$ si arriva a scrivere…
$B’_n(x)= sum_(k=1)^n *((n),(k))*k*B_(n-k)*x^(k-1)=$
$=n*sum_(k=0)^(n-1) *((n-1),(k))*k*B_(n-k-1)*x^(k)= n*B_(n-1)(x)$ (6)
Questo naturalmente ci porta a scrivere che…
$int_a^b B_n(x)*dx=1/(n+1)*[B_(n+1)(b)-B_(n+1)(a)]$ (7)
… relazione che ci tornerà utilissima…
cordiali saluti… e buon fine settimana!…
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Ragazzi
sperando abbiate passato tutti un felice week end, torniamo un poco ai polinomi che si è inventato quella buon’anima di Bernoulli, che chiamiamo $B_n(x)$ e raffiguriamo qui sotto per $n$ da $1$ a $4$...
Per chiarezza non sono riportati i polinomi di grado superiore a $4$ poiché questi creerebbero un ‘ingorgo’ nelle vicinanza dell’asse $x$ che pregiudicherebbe la chiarezza dell’immagine. Dalla figura comunque emergono chiaramente alcune proprietà di questi polinomi, tra cui quella che già conosciamo, ossia che…
$int_0^1 B_n(x)*dx=0$ per $n>0$ (1)
Un’altra proprietà che risulta evidente dalla figura riguarda la simmetria delle $B_n(x)$ nell’intervallo $0simmetriche rispetto a $x=1/2$. Per $n$ dispari [curve di colore rosso e nero di figura…] le $B_n(x)$ sono antisimmetriche rispetto a $x=1/2$. Ciò comporta il significativo dettaglio che esamineremo ora…
Supponiamo di voler trovare lo sviluppo in serie di Fourier delle $B_n(x)$ nell’intervallo $[0,1]$. Data una generica $f(x)$ definita in $[0,1]$ sotto ipotesi alquanto ampie essa ammette il seguente sviluppo di Fourier…
$f(x)= a_0/2 + sum_(k=1)^(oo) a_k*cos (2 pi k x)+b_k*sin(2 pi k x)$ (2)
… in cui…
$a_k=2*int_0^1 f(x)*cos (2 pi k x)*dx$
$b_k=2*int_0^1 f(x)*sin(2 pi k x)*dx$ (3)
Per la (1) possiamo subito dire che è $a_0=0$. Per $k$ qualunque le proprietà di simmetria prima evidenziate ci consentono di dire che per $n$ pari la (2) sarà una serie di soli coseni [e quindi $b_k=0$ per tutti i $k$…] e per $n$ dispari la (2) sarà una serie di soli seni [e quindi $a_k=0$ per tutti i $k$…]. Per verificare ciò calcoliamo lo sviluppo di Fourier del polinomio di grado più basso purchè $>0$: $B_1(x)= x-1/2$…
$a_k= -int_0^1 cos(2*pi*k*x)*dx + 2*int_0^1 x*cos(2*pi*k*x)*dx=$ (4)
$b_k= -int_0^1 sin(2*pi*k*x)*dx+2*int_0^1 x*sin(2*pi*k*x)*dx=-1/(pi k)$ (5)
Come già si era detto è $a_k=0$, mentre per i termini in seno è $b_k=-1/(pi k)$. Ciò ci consente di scrivere…
$B_1(x)= -1/pi*sum_(k=1)^(oo) (sin(2 pi k x))/k$ (6)
Ok!… questo per $n=1$!… e per $n=2$, $n=3$, e cosi via?… Naturalmente possiamo sviluppare gli integrali (3) per $n$ via crescenti, ma una proprietà delle $B_n$ ci semplifica di molto la vita. Abbiamo visto venerdì scorso che è…
$B_(n+1)(x)= (n+1)*int B_n(x)*dx$ (7)
Partendo da $n=1$ otteniamo facilmente…
$B_2(x)= 1/(pi^2)*sum_(k=1)^(oo) cos(2 pi k x)/(k^2)$ (8)
Se ripetiamo il giochino $n=2$ otteniamo…
$B_3(x)= 3/(2 pi^3)*sum_(k=1)^(oo) sin(2 pi k x)/(k^3)$ (9)
Se poi ripetiamo il giochino in modo sistematico per tutte le $n$ abbiamo in sequenza…
$B_n(x)= (-1)^(n/2+1)*(2n!)/(2pi)^n* sum_(k=1)^(oo) cos(2 pi k x)/(k^n)$ per $n$ pari
$B_n(x)= (-1)^((n+1)/2)*(2n!)/(2pi)^n*sum_(k=1)^(oo) sin(2 pi k x)/(k^n)$ per $n$ dispari (10)
Niente male ragazzi, non è vero?… Per non essere ‘indigesto’ subito dopo mangiato direi per il momento di fermarci qui… a più tradi!…
cordili saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
sperando abbiate passato tutti un felice week end, torniamo un poco ai polinomi che si è inventato quella buon’anima di Bernoulli, che chiamiamo $B_n(x)$ e raffiguriamo qui sotto per $n$ da $1$ a $4$...
Per chiarezza non sono riportati i polinomi di grado superiore a $4$ poiché questi creerebbero un ‘ingorgo’ nelle vicinanza dell’asse $x$ che pregiudicherebbe la chiarezza dell’immagine. Dalla figura comunque emergono chiaramente alcune proprietà di questi polinomi, tra cui quella che già conosciamo, ossia che…
$int_0^1 B_n(x)*dx=0$ per $n>0$ (1)
Un’altra proprietà che risulta evidente dalla figura riguarda la simmetria delle $B_n(x)$ nell’intervallo $0
Supponiamo di voler trovare lo sviluppo in serie di Fourier delle $B_n(x)$ nell’intervallo $[0,1]$. Data una generica $f(x)$ definita in $[0,1]$ sotto ipotesi alquanto ampie essa ammette il seguente sviluppo di Fourier…
$f(x)= a_0/2 + sum_(k=1)^(oo) a_k*cos (2 pi k x)+b_k*sin(2 pi k x)$ (2)
… in cui…
$a_k=2*int_0^1 f(x)*cos (2 pi k x)*dx$
$b_k=2*int_0^1 f(x)*sin(2 pi k x)*dx$ (3)
Per la (1) possiamo subito dire che è $a_0=0$. Per $k$ qualunque le proprietà di simmetria prima evidenziate ci consentono di dire che per $n$ pari la (2) sarà una serie di soli coseni [e quindi $b_k=0$ per tutti i $k$…] e per $n$ dispari la (2) sarà una serie di soli seni [e quindi $a_k=0$ per tutti i $k$…]. Per verificare ciò calcoliamo lo sviluppo di Fourier del polinomio di grado più basso purchè $>0$: $B_1(x)= x-1/2$…
$a_k= -int_0^1 cos(2*pi*k*x)*dx + 2*int_0^1 x*cos(2*pi*k*x)*dx=$ (4)
$b_k= -int_0^1 sin(2*pi*k*x)*dx+2*int_0^1 x*sin(2*pi*k*x)*dx=-1/(pi k)$ (5)
Come già si era detto è $a_k=0$, mentre per i termini in seno è $b_k=-1/(pi k)$. Ciò ci consente di scrivere…
$B_1(x)= -1/pi*sum_(k=1)^(oo) (sin(2 pi k x))/k$ (6)
Ok!… questo per $n=1$!… e per $n=2$, $n=3$, e cosi via?… Naturalmente possiamo sviluppare gli integrali (3) per $n$ via crescenti, ma una proprietà delle $B_n$ ci semplifica di molto la vita. Abbiamo visto venerdì scorso che è…
$B_(n+1)(x)= (n+1)*int B_n(x)*dx$ (7)
Partendo da $n=1$ otteniamo facilmente…
$B_2(x)= 1/(pi^2)*sum_(k=1)^(oo) cos(2 pi k x)/(k^2)$ (8)
Se ripetiamo il giochino $n=2$ otteniamo…
$B_3(x)= 3/(2 pi^3)*sum_(k=1)^(oo) sin(2 pi k x)/(k^3)$ (9)
Se poi ripetiamo il giochino in modo sistematico per tutte le $n$ abbiamo in sequenza…
$B_n(x)= (-1)^(n/2+1)*(2n!)/(2pi)^n* sum_(k=1)^(oo) cos(2 pi k x)/(k^n)$ per $n$ pari
$B_n(x)= (-1)^((n+1)/2)*(2n!)/(2pi)^n*sum_(k=1)^(oo) sin(2 pi k x)/(k^n)$ per $n$ dispari (10)
Niente male ragazzi, non è vero?… Per non essere ‘indigesto’ subito dopo mangiato direi per il momento di fermarci qui… a più tradi!…
cordili saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Ragazzi
eccomi di nuovo a voi!… allora… dal punto dove si era arrivati, vale a dire dalla relazione…
$B_n(x)= (-1)^(n/2+1)*(2*n!)/(2*pi)^n* sum_(k=1)^(oo) cos(2*pi*k*x)/(k^n)$ per $n$ pari (1)
… considerando che è $B_n(0)=B_n$, si perviene senza troppa difficoltà alla formula che ci interessa. Per $n$ pari è…
$zeta(n)= sum_(k=1)^(oo) 1/k^n= |B_n|*(pi^n)*2^(n-1)/(n!)$ (2)
Benissimo, non resta che calcolare i valori…
$n=2$ -> $|B_2|=1/6$ -> $zeta(2)= sum_(k=1)^(oo) 1/k^2= (pi^2)/6= 1.64493406685…$
$n=4$ -> $|B_4|=1/30$ -> $zeta(4)= sum_(k=1)^(oo) 1/k^4= (pi^4)/90= 1.08232323371…$
$n=6$ -> $|B_6|= 1/42$ -> $zeta(6)= sum_(k=1)^(oo) 1/k^6= (pi^6)/945= 1.0173430619844…$
$n=8$ -> $|B_8|= 1/30$ -> $zeta(8)= sum_(k=1)^(oo) 1/k^8= (pi^8)/9450= 1.0040773561979…$
$n=10$ -> $|B_10|= 5/66$ -> $zeta(10)= sum_(k=1)^(oo) 1/k^10= (pi^10)/93555= 1.0009945751278…$
$n=12$ -> $|B_12|= 691/2730$ -> $zeta(12)= sum_(k=1)^(oo) 1/k^12= pi^12*691/638512875= 1.0002460865531…$
$n=14$ -> $|B_14|= 7/6$ -> $zeta(14)= sum_(k=1)^(oo) 1/k^14= pi^14*2/18243225= 1.0000612481351…$ (3)
Ok boys!… siamo quasi al termine delle nostre fatiche!… non ci resta che sommare i primi sette termini della serie …
$sum_(k=1)^(+oo) 1-cos(1/n)=sum_(k=1)^(oo) (-1)^(k-1)/((2k)!)* zeta(2k)$ (4)
… per trovare…
$sum_(k=1)^(+oo) 1-cos(1/n)$ ~ $.778758579553…$ (5)
Come già detto il risultato ha dodici cifre esatte. A titolo di esempio sommando direttamente i primi 32000 termini della serie originale si ottiene un valore numerico con sole 4 cifre esatte…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
eccomi di nuovo a voi!… allora… dal punto dove si era arrivati, vale a dire dalla relazione…
$B_n(x)= (-1)^(n/2+1)*(2*n!)/(2*pi)^n* sum_(k=1)^(oo) cos(2*pi*k*x)/(k^n)$ per $n$ pari (1)
… considerando che è $B_n(0)=B_n$, si perviene senza troppa difficoltà alla formula che ci interessa. Per $n$ pari è…
$zeta(n)= sum_(k=1)^(oo) 1/k^n= |B_n|*(pi^n)*2^(n-1)/(n!)$ (2)
Benissimo, non resta che calcolare i valori…
$n=2$ -> $|B_2|=1/6$ -> $zeta(2)= sum_(k=1)^(oo) 1/k^2= (pi^2)/6= 1.64493406685…$
$n=4$ -> $|B_4|=1/30$ -> $zeta(4)= sum_(k=1)^(oo) 1/k^4= (pi^4)/90= 1.08232323371…$
$n=6$ -> $|B_6|= 1/42$ -> $zeta(6)= sum_(k=1)^(oo) 1/k^6= (pi^6)/945= 1.0173430619844…$
$n=8$ -> $|B_8|= 1/30$ -> $zeta(8)= sum_(k=1)^(oo) 1/k^8= (pi^8)/9450= 1.0040773561979…$
$n=10$ -> $|B_10|= 5/66$ -> $zeta(10)= sum_(k=1)^(oo) 1/k^10= (pi^10)/93555= 1.0009945751278…$
$n=12$ -> $|B_12|= 691/2730$ -> $zeta(12)= sum_(k=1)^(oo) 1/k^12= pi^12*691/638512875= 1.0002460865531…$
$n=14$ -> $|B_14|= 7/6$ -> $zeta(14)= sum_(k=1)^(oo) 1/k^14= pi^14*2/18243225= 1.0000612481351…$ (3)
Ok boys!… siamo quasi al termine delle nostre fatiche!… non ci resta che sommare i primi sette termini della serie …
$sum_(k=1)^(+oo) 1-cos(1/n)=sum_(k=1)^(oo) (-1)^(k-1)/((2k)!)* zeta(2k)$ (4)
… per trovare…
$sum_(k=1)^(+oo) 1-cos(1/n)$ ~ $.778758579553…$ (5)
Come già detto il risultato ha dodici cifre esatte. A titolo di esempio sommando direttamente i primi 32000 termini della serie originale si ottiene un valore numerico con sole 4 cifre esatte…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Complimenti per il bel lavoro,ricco tra l'altro di interessanti
risultati intermedi.Come per esempio le somme infinite
dei reciproci di potenze pari di numeri naturali.
Basterebbe questo (nonche' la fatica di scrivere
tutto quanto in MathML !!) per aggiungere complimenti a complimenti.
karl
risultati intermedi.Come per esempio le somme infinite
dei reciproci di potenze pari di numeri naturali.
Basterebbe questo (nonche' la fatica di scrivere
tutto quanto in MathML !!) per aggiungere complimenti a complimenti.
karl
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