[Tecnos N.3,pag 11] Derivata di [tex]\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}\left(2-\sqrt[3]{x}\right)^{2}}[/tex]
Non chiedo mai aiuto per le derivate, ma questa volta anche dopo innumerevoli tentativi, ottengo sempre lo stesso risultato, quindi non capisco dove io stia sbagliando. In fondo allego il risultato del libro (Tecnos N.3 pagina 11)
[tex]\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}\left(2-\sqrt[3]{x}\right)^{2}}\Rightarrow\left[3\sqrt[3]{x^{2}}\left(2-\sqrt[3]{x}\right)^{2}\right]^{-1}=\left(-1\right)\left[3\sqrt[3]{x^{2}}\left(2-\sqrt[3]{x}\right)^{2}\right]^{-2}\frac{d}{dx}\left[3\sqrt[3]{x^{2}}\left(2-\sqrt[3]{x}\right)^{2}\right]=[/tex]
[tex]=\left(-1\right)\left[3x^{\frac{2}{3}}\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)^{2}\right]^{-2}\frac{d}{dx}\left[3x^{\frac{2}{3}}\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)^{2}\right]=-\frac{2x^{-\frac{1}{3}}\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)^{2}+3x^{\frac{2}{3}}\left(2\right)\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)\left(-\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\right)}{9x^{\frac{4}{3}}\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)^{4}}=-\frac{2x^{-\frac{1}{3}}\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)+3x^{\frac{2}{3}}\left(2\right)\left(-\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\right)}{9x^{\frac{4}{3}}\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}}=\frac{-4x^{-\frac{1}{3}}+4}{9x^{\frac{4}{3}}\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}}[/tex]
Risultato del libro:
[tex]-\frac{4}{3}\cdot\frac{1-\sqrt[3]{x}}{x\sqrt[3]{x^{2}}\left(2-\sqrt[3]{x}\right)^{3}}[/tex]
Grazie
[tex]\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}\left(2-\sqrt[3]{x}\right)^{2}}\Rightarrow\left[3\sqrt[3]{x^{2}}\left(2-\sqrt[3]{x}\right)^{2}\right]^{-1}=\left(-1\right)\left[3\sqrt[3]{x^{2}}\left(2-\sqrt[3]{x}\right)^{2}\right]^{-2}\frac{d}{dx}\left[3\sqrt[3]{x^{2}}\left(2-\sqrt[3]{x}\right)^{2}\right]=[/tex]
[tex]=\left(-1\right)\left[3x^{\frac{2}{3}}\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)^{2}\right]^{-2}\frac{d}{dx}\left[3x^{\frac{2}{3}}\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)^{2}\right]=-\frac{2x^{-\frac{1}{3}}\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)^{2}+3x^{\frac{2}{3}}\left(2\right)\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)\left(-\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\right)}{9x^{\frac{4}{3}}\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)^{4}}=-\frac{2x^{-\frac{1}{3}}\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)+3x^{\frac{2}{3}}\left(2\right)\left(-\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\right)}{9x^{\frac{4}{3}}\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}}=\frac{-4x^{-\frac{1}{3}}+4}{9x^{\frac{4}{3}}\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}}[/tex]
Risultato del libro:
[tex]-\frac{4}{3}\cdot\frac{1-\sqrt[3]{x}}{x\sqrt[3]{x^{2}}\left(2-\sqrt[3]{x}\right)^{3}}[/tex]
Grazie
Risposte
Se la risolvi così viene un mezzo massacro...
Risolvila semplicemente vedendola come una funzione fratta. Precisamente $ D \frac{1}{f(x)}= - \frac{f'(x)}{(f(x))^2}$.
Risolvila semplicemente vedendola come una funzione fratta. Precisamente $ D \frac{1}{f(x)}= - \frac{f'(x)}{(f(x))^2}$.
Sicuro sia $4/3$ e non $4/9$?
Non assicuro niente, però a me viene così:
$d/(dx)[1/3(1/(x^(2/3)(2-x^(1/3))^2))]=1/3d/(dx)[1/(x^(2/3)(2-x^(1/3))^2)]=-1/3(2/3x^(-1/3)(2-root(3)(x))^2+2x^(2/3)(2-root(3)(x))(-1/3x^(-2/3)))/(x^(4/3)(2-root(3)(x))^4)$
Semplificando il $(2-root(3)(x))$ in comune a tutti i termini e lavorando sul numeratore:
$2/3[x^(-1/3)(2-root(3)(x))-x^(2/3)x^(-2/3)]=2/3[2x^(-1/3)-2]=4/3[x^(-1/3)-1]$
Ricomponendo e moltiplicando tutto per $x^(1/3)$:
$-4/9(1-root(3)(x))/(x^(5/3)(2-root(3)(x))^3)$
Ricontrolla i calcoli perché c'è un'altissima probabilità che abbia sbagliato qualcosa
Edit: infatti ho trasformato un tre in un due!
$d/(dx)[1/3(1/(x^(2/3)(2-x^(1/3))^2))]=1/3d/(dx)[1/(x^(2/3)(2-x^(1/3))^2)]=-1/3(2/3x^(-1/3)(2-root(3)(x))^2+2x^(2/3)(2-root(3)(x))(-1/3x^(-2/3)))/(x^(4/3)(2-root(3)(x))^4)$
Semplificando il $(2-root(3)(x))$ in comune a tutti i termini e lavorando sul numeratore:
$2/3[x^(-1/3)(2-root(3)(x))-x^(2/3)x^(-2/3)]=2/3[2x^(-1/3)-2]=4/3[x^(-1/3)-1]$
Ricomponendo e moltiplicando tutto per $x^(1/3)$:
$-4/9(1-root(3)(x))/(x^(5/3)(2-root(3)(x))^3)$
Ricontrolla i calcoli perché c'è un'altissima probabilità che abbia sbagliato qualcosa
Edit: infatti ho trasformato un tre in un due!
"Weierstress":
Sicuro sia $4/3$ e non $4/9$?
Ho ricontrollato il risultato del libro, ed è proprio come ho scritto
"Weierstress":
Non assicuro niente, però a me viene così:
$d/(dx)[1/3(1/(x^(2/3)(2-x^(1/3))^2))]=1/3d/(dx)[1/(x^(2/3)(2-x^(1/3))^2)]=-1/3(2/3x^(-1/3)(2-root(3)(x))^2+2x^(2/3)(2-root(3)(x))(-1/3x^(-2/3)))/(x^(4/3)(2-root(3)(x))^4)$
Semplificando il $(2-root(3)(x))$ in comune a tutti i termini e lavorando sul numeratore:
$2/3[x^(-1/3)(2-root(3)(x))-x^(2/3)x^(-2/3)]=2/3[2x^(-1/3)-2]=4/3[x^(-1/3)-1]$
Il tuo risultato è uguale al mio:
[tex]-\frac{1}{3}\frac{\frac{4}{3}x^{-\frac{1}{3}}-\frac{4}{3}}{x^{\frac{4}{3}}\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}}=\left(-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{4}{3}\right)\frac{x^{-\frac{1}{3}}-1}{x^{\frac{4}{3}}\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}}=-\frac{4}{9}\frac{x^{-\frac{1}{3}}-1}{x^{\frac{4}{3}}\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}}=+\frac{4}{9}\frac{1-x^{-\frac{1}{3}}}{x^{\frac{4}{3}}\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}}[/tex]
Che è lo stesso risultato al quale sono giunto al primo post.
Penso proprio che il libro abbia sbagliato...
Invece qui WolframAlpha getta altra benzina sul fuoco, guardate al denominatore anziché esserci [tex]x^{\frac{4}{3}}\left(2-x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}[/tex] c'è [tex]x^{\frac{4}{3}}\left(x^{\frac{1}{3}}-2\right)^{3}[/tex]
Mistero
Benzina? Altroché, getta acqua freschissima
I risultati sono equivalenti, se consideri anche il cambiamento al numeratore...
Direi che il libro ha dimenticato di moltiplicare per un terzo a questo punto.
I risultati sono equivalenti, se consideri anche il cambiamento al numeratore...
Direi che il libro ha dimenticato di moltiplicare per un terzo a questo punto.
"Weierstress":
Benzina? Altroché, getta acqua freschissima
I risultati sono equivalenti, se consideri anche il cambiamento al numeratore...
Vero, grazie mille
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