Tecnica per lo studio del dominio massimale delle f(x,y)

[bingosolos1]

Magari per qualcuno può sembrare banale, ma avrei bisogno di capire come si studia il dominio massimale di una funzione a due variabili. Ho notato che in alcuni casi diventa facile perchè è possibile fare delle sostituzioni e rendere la funzione ad una variabile ma in altri casi tipo questo in esame il libro mi da direttamente la risoluzione senza spiegare la tecnica.

$f(x,y)=sqrt((x+y)/(x-y))$

il testo riporta come risoluzione:
$ x>0 and -x<=y $ x<0 and x
Io ricordavo la tecnica di incollare i risultati singoli di numeratore e denominatore e poi il calcolo incrociato dei risultati per ottenere le condizioni generali. Non riesco a trovare il nesso tra la tecnica ad una variabile e quella a due. Help me.

Grazie

[Luca.Lussardi]

Non so che tecnica hai in mente, ma basta imporre $(x+y)/(x-y) \geq 0$ e $x-y \ne 0$. Si tratta di una semplice disequazione.

[bingosolos1]

Per le equazioni ad una variabile es:

$ (x+a)/(x-b)>=0$ analizzo il numeratore e denominatore separatamente

N: $x+a>=0 -> x>=-a$
D: $x-b>0 -> X>b$

----(-a)-------0------(+b)--------->
N - |*| + +
D - - +

Complessivamente si fa il prodotto dei segni e si ha X<-a et X>b ovviamente questo metodo è molto utile quando si hanno binomi e trinomi di grado superiore...

Come si fa con quelle a due variabili??

[alberto.cena]

Come per le disequazioni in una incognita, studi la variazione del segno del numeratore e del denominatore, poi vai a vedere dove i due segni sono concordi o discordi. Fin qui ti è chiaro.
Ma come risolvere una disequazione del tipo $ax+by+c>0$?
Pensa al caso della disequazione $x+a > 0$ di primo grado nella sola $x$. Il valore $x=-a$ (soluzione dell'equazione $x+a=0$) divide l'asse reale in due semirette e le soluzioni della disequazione sono i valori appartenenti alla semiretta $x > -a$. I valori appartenenti alla semiretta $ x < - a$ sono invece soluzione di $x+a<0$.
Nel caso della disequazione in due incognite le soluzioni sono un sottoinsieme del piano cartesiano. Considera la retta $r$ di equazione $ax+by+c=0$. Questa retta divide il piano in due semipiani. Bene, in analogia con il caso monodimensionale, le coordinate dei punti di un semipiano sono tutte e sole le soluzioni della disequazione $ax+by+c>0$ mentre i punti del semipiano complementare sono soluzioni della disequazione $ax+by+c<0$.
Per capire quale dei due semipiani prendere ti conviene sostituire le coordinate di un punto e vedere se la disequazione è soddisfatta oppure no.
Esempio.
N: $x+y \geq 0$.
Disegna la retta $ x + y = 0$. E' la bisettrice del II e IV quadrante. Divide il piano in due semipiani. Poiché il punto $(1,1)$ soddisfa la disequazione, il numeratore è positivo nel sempiano contenente $(1,1)$ (ed è negativo per $(x,y)$ appartenenti all'altro semipiano)
Segna sul piano cartesiano dei $+$ nel semipiano "sopra" la bisettrice.
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("y=-x");
text( [2,-1] , "+" , below );
text( [2,1] , "+" , below );
text( [1,2] , "+" , below );
text( [-1,2] , "+" , below );
text( [-2,1] , "-" , below );
text( [-2,-1] , "-" , below );
text( [-1,-2] , "-" , below );
text( [1,-2] , "-" , below );[/asvg]
D: $x-y>0$
Disegna la retta $x-y=0$. E' l'altra bisettrice. Divide il piano in due semipiani. Poiché le coordinate del punto $(0,1)$ non soddisfano la disequazione, il denominatore è positivo nel semipiano NON contenente $(0,1)$ (ed è negativo per $(x,y)$ appartenenti all'altro semipiano, quello che contiene $(0,1)$).
Segna dei $+$ nel semipiano "sotto" questa bisettrice.
[asvg]axes();
stroke="green";
plot("y=x");
text( [2,-1] , "+" , above);
text( [2,1] , "+" , above);
text( [1,2] , "-" , above);
text( [-1,2] , "-" , above );
text( [-2,1] , "-" , above);
text( [-2,-1] , "-" , above );
text( [-1,-2] , "+" , above);
text( [1,-2] , "+" , above);[/asvg]
Sovrapponendo sul piano i $+$ e i $-$ vedi dove hai concordanza di segno:
$x>0$ e $-x \leq y < x$
$x<0$ e $ x < y \leq -x$
[asvg]axes();
stroke="green";
plot("y=x");
text( [2,-1] , "+" , above);
text( [2,1] , "+" , above);
text( [1,2] , "-" , above);
text( [-1,2] , "-" , above );
text( [-2,1] , "-" , above);
text( [-2,-1] , "-" , above );
text( [-1,-2] , "+" , above);
text( [1,-2] , "+" , above);
stroke="red";
plot("y=-x");
text( [2,-1] , "+" , below );
text( [2,1] , "+" , below );
text( [1,2] , "+" , below );
text( [-1,2] , "+" , below );
text( [-2,1] , "-" , below );
text( [-2,-1] , "-" , below );
text( [-1,-2] , "-" , below );
text( [1,-2] , "-" , below );[/asvg]

[bingosolos1]

Grazie infinite è proprio quello che non avevo capito la sovrapposizione dei piani e l'analisi del segno della funzione

ancora mille grazie.