Taylor Lagrange
Ciao a tutti!:)
Sto avendo alcuni problemi a risolvere esercizi del tipo resto di Lagrange...
Gli esercizi sono i seguenti:
1)
Calcolare il poolinomio di McLaurin di grado 8 della funzione
$ f(x)=1/(sqrt(1+x^4) $
e stimare l'errore commesso approssimando l'integrale che segue con quello del polinomio di ordine 8.
$ int_(-1/2)^(1/2) f(x) dx $
Il polinomio si calcola agevolmente con lo sviluppo di Taylor di (1+x)^a, ma il resto?
2)
Sia y la soluzione del problema
$ { ( y''(t)=-sin(y(t)) ),( y(0)=0 ),( y'(0)=1 ):} $
Calcolare il polinomio di McLaurin di ordine 3 di y(x) e stimare il resto.
Anche qua si calcola il polinomio sfruttando i dati del sistema.. Ma come possiamo fare per il resto?
Sto avendo alcuni problemi a risolvere esercizi del tipo resto di Lagrange...
Gli esercizi sono i seguenti:
1)
Calcolare il poolinomio di McLaurin di grado 8 della funzione
$ f(x)=1/(sqrt(1+x^4) $
e stimare l'errore commesso approssimando l'integrale che segue con quello del polinomio di ordine 8.
$ int_(-1/2)^(1/2) f(x) dx $
Il polinomio si calcola agevolmente con lo sviluppo di Taylor di (1+x)^a, ma il resto?
2)
Sia y la soluzione del problema
$ { ( y''(t)=-sin(y(t)) ),( y(0)=0 ),( y'(0)=1 ):} $
Calcolare il polinomio di McLaurin di ordine 3 di y(x) e stimare il resto.
Anche qua si calcola il polinomio sfruttando i dati del sistema.. Ma come possiamo fare per il resto?
Risposte
Ma tu la conosci l'espressione del resto in forma di Lagrange?
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... i_Lagrange
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... i_Lagrange
Sì, certo 
ma credo sia chiaro che sono molto confuso in questi argomenti 
Ho risolto con l'esercizio 1).
Il mio problema era che provavo a calcolare la derivata nona di f(x), che era un po' lunghina da tirar fuori
Invece ho considerato $ g(y) = (1 + y)^(-1/2) $ con $ y=x^4 $ e calcolato il polinomio di grado 3 di g(y), quindi sostituito y con x^4 (per il polinomio di Taylor della funzione composta) e stimato il resto tramite maggiorazioni del suo integrale.
Il problema che ho con l'esercizio 2), è che non riesco ad ottenere informazioni utili su $ y^((4))(c) $! (In generale, sulla derivata quarta!).
Calcolo $ T_3^0f(x)=y(0)+y'(0)x+(y''(0))/2x^2+(y^((3))(0))/(3!)x^3+R $ con $ R=(f^((4))(c))/(4!)x^4 $
Allora y(0)=0 dal testo, analogamente y'(0)=1, y''(0)=-sin(y(0))=-sin(0)=0.
Poi $ y^((3))=D(y^((2)))=D(-sin(y(t))=-cos(y(t)) cdot y'(t) $ e quindi $ y^((3))(0)=-cos(y(0)) cdot y'(0)=-1cdot1=-1 $.
Ora $ y^((4))(t)=D(-cos(y(t))cdoty'(t))=sin(y(t))cdotD(y(t))^2-cos(y(t))cdoty''(t) $
Quindi se non sbaglio $ |R|=|(sin(y(c))cdotD(y(c))^2-cos(y(c))cdoty''(c))/(4!)x^4| $.
Ora però? Non so cosa dire dire sulle derivate calcolate in punti diversi da 0... Un aiutino?
ma credo sia chiaro che sono molto confuso in questi argomenti Ho risolto con l'esercizio 1).
Il mio problema era che provavo a calcolare la derivata nona di f(x), che era un po' lunghina da tirar fuori
Invece ho considerato $ g(y) = (1 + y)^(-1/2) $ con $ y=x^4 $ e calcolato il polinomio di grado 3 di g(y), quindi sostituito y con x^4 (per il polinomio di Taylor della funzione composta) e stimato il resto tramite maggiorazioni del suo integrale.
Il problema che ho con l'esercizio 2), è che non riesco ad ottenere informazioni utili su $ y^((4))(c) $! (In generale, sulla derivata quarta!).
Calcolo $ T_3^0f(x)=y(0)+y'(0)x+(y''(0))/2x^2+(y^((3))(0))/(3!)x^3+R $ con $ R=(f^((4))(c))/(4!)x^4 $
Allora y(0)=0 dal testo, analogamente y'(0)=1, y''(0)=-sin(y(0))=-sin(0)=0.
Poi $ y^((3))=D(y^((2)))=D(-sin(y(t))=-cos(y(t)) cdot y'(t) $ e quindi $ y^((3))(0)=-cos(y(0)) cdot y'(0)=-1cdot1=-1 $.
Ora $ y^((4))(t)=D(-cos(y(t))cdoty'(t))=sin(y(t))cdotD(y(t))^2-cos(y(t))cdoty''(t) $
Quindi se non sbaglio $ |R|=|(sin(y(c))cdotD(y(c))^2-cos(y(c))cdoty''(c))/(4!)x^4| $.
Ora però? Non so cosa dire dire sulle derivate calcolate in punti diversi da 0... Un aiutino?
La derivata quarta è questa:
$$y^{(4)}(y)=\sin(y(t))\cdot[y'(t)]^2-\cos(y(t))\cdot y''(t)$$
E direi che una maggiorazione possibile sia la seguente
$$|y^{(4)}(t)|\le [y'(t)]^2+|y''(t)|$$
non credi? Ora prova a prendere un intervallo $(0,a)$, con $x\in(0,a)$ e $c\in(0,x)$ e vedi cosa puoi dire (ricorda quanto valgono le derivate prima e seconda in zero e prova ad usare qualche cosa tipo Lagrange per stimarle nel punto $c$).
$$y^{(4)}(y)=\sin(y(t))\cdot[y'(t)]^2-\cos(y(t))\cdot y''(t)$$
E direi che una maggiorazione possibile sia la seguente
$$|y^{(4)}(t)|\le [y'(t)]^2+|y''(t)|$$
non credi? Ora prova a prendere un intervallo $(0,a)$, con $x\in(0,a)$ e $c\in(0,x)$ e vedi cosa puoi dire (ricorda quanto valgono le derivate prima e seconda in zero e prova ad usare qualche cosa tipo Lagrange per stimarle nel punto $c$).
Grazie mille! Forse ci sono. Ora so che
$ |y''(c)|=|-sin(y(c))|<=1 $
e che, per Taylor-Lagrange,
$ y'(c)=y'(0)+y''(k)(c) $
Con $ x in (0,a), c in (0, x), k in (0, c) $
Quindi ho che $ |y^((4))(c)|<=|-sin(y(c))|+|y'(0)-sin(y(k))c|<=1+1+c=2+c <= 2+x $
Quindi $ |R|<= (x+2)/(4!) x^4 $
Gentilissimo!:) Spero di non aver sbagliato nulla
$ |y''(c)|=|-sin(y(c))|<=1 $
e che, per Taylor-Lagrange,
$ y'(c)=y'(0)+y''(k)(c) $
Con $ x in (0,a), c in (0, x), k in (0, c) $
Quindi ho che $ |y^((4))(c)|<=|-sin(y(c))|+|y'(0)-sin(y(k))c|<=1+1+c=2+c <= 2+x $
Quindi $ |R|<= (x+2)/(4!) x^4 $
Gentilissimo!:) Spero di non aver sbagliato nulla
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