Taylor e convessità
Dire se la seguente funzione è concava o convessa per $x->+oo$ e se eventualmente ammette asindoti obliqui.
$f(x)=x*cos(e^-x)$
Questo esercizio si trova nel capitolo del polinomio di Taylor, quindi sicuramente dovrei risolverelo in quel modo. Ma cosa dovrei fare? Scrivere la funzione come polinomio di Taylor e prendere il coefficiente di $x^2$ come derivata seconda e vedere se è positivo o negativo? Ma in questo caso se utilizzo gli sviluppi di MacLaurin ottengo solo la derivata in 0 e a me invece interessa la convessità a $+oo$. Come posso rendere efficente questo metodo?
Grazie mille!
$f(x)=x*cos(e^-x)$
Questo esercizio si trova nel capitolo del polinomio di Taylor, quindi sicuramente dovrei risolverelo in quel modo. Ma cosa dovrei fare? Scrivere la funzione come polinomio di Taylor e prendere il coefficiente di $x^2$ come derivata seconda e vedere se è positivo o negativo? Ma in questo caso se utilizzo gli sviluppi di MacLaurin ottengo solo la derivata in 0 e a me invece interessa la convessità a $+oo$. Come posso rendere efficente questo metodo?
Grazie mille!
Risposte
Sennò potrei fare una sostituzione $t=1/x$ così $t->0$. Ma se calcolo il polinomio di Taylor ottengo $cos(1)/t-sin(1)+1/2*t(-sin(1)-cos(1))-1/2*x^2*cos(1)+1/24*x^3(5sen(1)-6cos(1))+o(x^4)$ e quale sarebbe il coefficiente che mi indica la derivata seconda? Perchè qui parto da un $t^(-1)$. Non so se mi sono spiegata....
Ciao!
Mah..mi vien da pensare che il tuo esercizio sia stato posto in quel capitolo perchè la regola sul verso della concavità si giustifica proprio attraverso la Formula di Taylor,
mentre nella parte "pratica" t'hanno di fatto chiesto,se ho ben capito la terminologia,di calcolare $lim_(x to +oo)f''(x)$:
a me,se non ho sbagliato i conti,viene reale e "negativo"..
Saluti dal web.
Edit:
Per gli asintoti obliqui direi che,procedendo in modo "standard",non ci siano difficoltà
(e te lo dice un "vecchietto" con l'aggravante della,si spera momentanea,mancanza di sonno!!):
il parziale dx c'è,ed è una retta "importante",e quello sx..ci fai sapere tu
?
Mah..mi vien da pensare che il tuo esercizio sia stato posto in quel capitolo perchè la regola sul verso della concavità si giustifica proprio attraverso la Formula di Taylor,
mentre nella parte "pratica" t'hanno di fatto chiesto,se ho ben capito la terminologia,di calcolare $lim_(x to +oo)f''(x)$:
a me,se non ho sbagliato i conti,viene reale e "negativo"..
Saluti dal web.
Edit:
Per gli asintoti obliqui direi che,procedendo in modo "standard",non ci siano difficoltà
(e te lo dice un "vecchietto" con l'aggravante della,si spera momentanea,mancanza di sonno!!):
il parziale dx c'è,ed è una retta "importante",e quello sx..ci fai sapere tu
?
Ma a me viene $lim_(x->+oo) f''(x)=0$. Cosa significa? Ho sbagliato?
Per quanto riguarda l'asintoto destro, ottengo la retta $y=x$ (retta importantissima...) e quello sinistro invece non esiste...Giusto...
? Grazie ancora....
Per quanto riguarda l'asintoto destro, ottengo la retta $y=x$ (retta importantissima...
) e quello sinistro invece non esiste...Giusto...? Grazie ancora....
Niente? Perchè ho provato a fare altri esercizi della stessa tipologia e il limite per x che tende a infinito della la derivata seconda mi viene sempre zero. Cosa significa? In questo caso, ad esempio, a + infinito la funzione è asintotica a $y=x$ e anche il limite per x che tende a infinito della la derivata seconda di questa retta è zero. Ma quindi come faccio a dire se è concava o convessa?
Ciao!
Prova ad esser più dettagliata sul modo di convergere a zero di quel limite..
Saluti dal web.
Prova ad esser più dettagliata sul modo di convergere a zero di quel limite..
Saluti dal web.
Si si...grazie...poi ho capito...quel limite tende a zero meno...quindi la funzione è concava...! Grazie ancora...
! Grazie ancora...
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