Taylor della funzione inversa

[vivi996]

-Buongiorno, ho un esercizio in cui mi dice :
Se per f(x) la formula di Mclaurin al second'ordine è $f(x)=1+x+x^2+\sigma(x^2)$ , qual è la formula di Taylor centrata in $x_0=1$ di $f^-1(x)$ centrata al second'ordine?
Non credo che si debba risalire alla funzione in sè, quindi vi chiedo se esiste una formula o un paragrafo in cui spiega il collegamento di questa richiesta

[Ernesto011]

Osservi che $f^(-1)(1)=0$, scrivi lo sviluppo di una generica funzione troncato al secondo termine e ti calcoli i coefficienti sapendo che $f^(-1)(f(x))=x$
(Credo che funzioni, mai provato in realtà)

[dissonance]

@TeM: e si, ma i coefficienti li devi calcolare! È una cosa che mi ha dato filo da torcere in passato, perché non è mai spiegata chiaramente, bisogna davvero ragionare. Uno spunto: si pone \[y=1+x+x^2+O(x^3).\]
Quindi
\[
x=y-1 -x^2 + O(x^3).\]
Adesso si rificca questa espressione nel membro destro;
\[
x=y-1-(y-1- x^2+O(x^3))^2 + O((y-1 -x^2 + O(x^3))^3), \]
e da qua si arriva a
\[
x=y-1-(y-1)^2 + O((y-1)^3),\]
che è il risultato voluto.

Bisogna giustificare l'ultimo passaggio.

[vivi996]

"dissonance":@TeM: e si, ma i coefficienti li devi calcolare! È una cosa che mi ha dato filo da torcere in passato, perché non è mai spiegata chiaramente, bisogna davvero ragionare. Uno spunto: si pone \[y=1+x+x^2+O(x^3).\]
Quindi
\[
x=y-1 -x^2 + O(x^3).\]
Adesso si rificca questa espressione nel membro destro;
\[
x=y-1-(y-1- x^2+O(x^3))^2 + O((y-1 -x^2 + O(x^3))^3), \]
e da qua si arriva a
\[
x=y-1-(y-1)^2 + O((y-1)^3),\]
che è il risultato voluto.

Bisogna giustificare l'ultimo passaggio.

Io mi sono calcolata i coefficienti della derivata prima e seconda, ma qui tu stai trovando $f^(-1)(y)$ vero? Perchè ho problemi a capire perchè tu possa risostituire la x in

[dissonance]

Si, il risultato è $f^{-1}(y)=y-1 - (y-1)^2+O((y-1)^3).$ Quanto all'altra tua domanda, la risposta è semplice; dovresti pensarci tu, io non l'ho giustificato rigorosamente.