Taylor del reciproco di una funzione
Salve. Non ho ben capito cosa fa il libro nello sviluppo di taylor di $frac{1}{(e^x) +1}$
Mi sono calcolato lo sviluppo di Taylor fino al secondo ordine di $e^x +1 = 2 + x + frac{(x^2)}{2} + o (x^2)$
Bene, adesso si dovrebbe fare il reciproco e al libro risulta come risultato finale:
$frac{1}{e^x +1} = frac{1}{2} - frac{x}{4} + o(x^2)$
Mi spiegate cosa fa gentilmente?
Mi sono calcolato lo sviluppo di Taylor fino al secondo ordine di $e^x +1 = 2 + x + frac{(x^2)}{2} + o (x^2)$
Bene, adesso si dovrebbe fare il reciproco e al libro risulta come risultato finale:
$frac{1}{e^x +1} = frac{1}{2} - frac{x}{4} + o(x^2)$
Mi spiegate cosa fa gentilmente?
Risposte
"qwerty90":
Salve. Non ho ben capito cosa fa il libro nello sviluppo di taylor di $frac{1}{(e^x) +1}$
Mi sono calcolato lo sviluppo di Taylor fino al secondo ordine di $e^x +1 = 2 + x + frac{(x^2)}{2} + o (x^2)$
Bene, adesso si dovrebbe fare il reciproco e al libro risulta come risultato finale:
$frac{1}{e^x +1} = frac{1}{2} - frac{x}{4} + o(x^2)$
Mi spiegate cosa fa gentilmente?
A me non sembra difficile costruirsela, calcolando i coefficienti dello sviluppo.
Quindi..
$f(0) = 1/2$
$f'(0) = -1/4$
$f''(0) = 0$
...
In realtà, nel caso generale, costruire la serie di Taylor di una funzione conoscendo quella della funzione reciproca è un problema (di calcolo) non semplice.
Vero è che esistono delle relazioni per determinare i coefficienti di $\frac{1}{f(x)}$ a partire da quelli di $f(x)$, epperò si deve faticare parecchio per fare i conticini a mano...
Tuttavia, mi preme ricordare il seguente teorema:
che fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché provare a fare quei conti abbia qualche senso.
Vero è che esistono delle relazioni per determinare i coefficienti di $\frac{1}{f(x)}$ a partire da quelli di $f(x)$, epperò si deve faticare parecchio per fare i conticini a mano...
Tuttavia, mi preme ricordare il seguente teorema:
Sia [tex]$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(x-x_0)^n$[/tex] in un intorno di [tex]$x_0$[/tex] di raggio [tex]$r>0$[/tex].
La funzione [tex]$\frac{1}{f(x)}$[/tex] è somma di una serie di potenze [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty}b_n (x-x_0)^n$[/tex] in un intorno di [tex]$x_0$[/tex] di raggio [tex]$\rho >0$[/tex] se e solo se [tex]$f(x_0)=a_0\neq 0$[/tex].
che fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché provare a fare quei conti abbia qualche senso.
ok quindi il termine iniziale deve essere diverso da 0...esatto?
E sì... Questo perchè ciò ti assicura che:
1) [tex]$f(x_0)$[/tex] è un numero reale di cui puoi fare il reciproco;
2) cosa più importante, che intorno ad [tex]$x_0$[/tex], in un intorno eventualmente più piccolo di [tex]$]x_0-r,x_0+r[$[/tex] in cui converge ad [tex]$f(x)$[/tex] la serie di potenze [tex]$\sum a_n (x-x_0)^n$[/tex], non cadono altri zeri di [tex]$f$[/tex] (quindi [tex]$\frac{1}{f(x)}$[/tex] è ben definita almeno in tale intorno).
Occhio, che la 2) non è tanto scontata quanto sembra...
1) [tex]$f(x_0)$[/tex] è un numero reale di cui puoi fare il reciproco;
2) cosa più importante, che intorno ad [tex]$x_0$[/tex], in un intorno eventualmente più piccolo di [tex]$]x_0-r,x_0+r[$[/tex] in cui converge ad [tex]$f(x)$[/tex] la serie di potenze [tex]$\sum a_n (x-x_0)^n$[/tex], non cadono altri zeri di [tex]$f$[/tex] (quindi [tex]$\frac{1}{f(x)}$[/tex] è ben definita almeno in tale intorno).
Occhio, che la 2) non è tanto scontata quanto sembra...
"gugo82":
E sì... Questo perchè ciò ti assicura che:
1) [tex]$f(x_0)$[/tex] è un numero reale di cui puoi fare il reciproco;
2) cosa più importante, che intorno ad [tex]$x_0$[/tex], in un intorno eventualmente più piccolo di [tex]$]x_0-r,x_0+r[$[/tex] in cui converge ad [tex]$f(x)$[/tex] la serie di potenze [tex]$\sum a_n (x-x_0)^n$[/tex], non cadono altri zeri di [tex]$f$[/tex] (quindi [tex]$\frac{1}{f(x)}$[/tex] è ben definita almeno in tale intorno).
Occhio, che la 2) non è tanto scontata quanto sembra...
ok chiaro
L'unico dubbio che mi rimane è lo sviluppo di Taylor di una funzione composta.
Esempio:
$cos(x-2)$
$ cos(t) = 1 - frac{t^2}{2} + frac{t^4}{4!}+ o(t^6) $
$x - 2 = -2 + x + o(x^2)$
$cos(x - 2) = 1 - frac{(x-2 + o(x^2))^2}{2} + frac{(x-2+o(x^2))^4}{4!}+ o((x-2 + o(x^2))^6) $
E' corretto? In generale quando mi trovo di fronte una funzione composta devo fare così? Grazie
Esatto.
Però $x-2=-2+x+\text{o}(x)$ non si può vedere...
Però $x-2=-2+x+\text{o}(x)$ non si può vedere...
"gugo82":
Esatto.
Però $x-2=-2+x+\text{o}(x)$ non si può vedere...
Nel senso che è banale?
Si lo sò....beh l'ho fatto per sfizio
Però non mi sò spiegare perchè al calcolatore viene così:
http://wims.math.unifi.it/wims/wims.cgi?session=NRDCA3C8F0.2&lang=it&cmd=reply&module=tool/analysis/function.it&fn=cos(x-2)&substitute=&show=dev¢er=0&dev_order=5&ileft=&iright=&left=&right=&lower=&upper=&pleft=&pright=&num_precision=12&format=t
E poi non conosco la differenza tra o-piccolo e O-grande....In sintesi ?
http://wims.math.unifi.it/wims/wims.cgi?session=NRDCA3C8F0.2&lang=it&cmd=reply&module=tool/analysis/function.it&fn=cos(x-2)&substitute=&show=dev¢er=0&dev_order=5&ileft=&iright=&left=&right=&lower=&upper=&pleft=&pright=&num_precision=12&format=t
E poi non conosco la differenza tra o-piccolo e O-grande....In sintesi ?
No, aspetta un momento... Mi sa che prima non ho centrato il punto.
La sostituzione [tex]$t=x-2$[/tex] ti consente di calcolare l'espansione della tua funzione [tex]$\cos (x-2)$[/tex] in serie di Taylor centrata nel punto [tex]$2$[/tex] partendo dall'espansione standard del coseno di centro [tex]$0$[/tex].
Il tuo problema, invece, pare esser quello di trovare l'espansione in serie di Taylor di [tex]$\cos (x-2)$[/tex] di centro [tex]$0$[/tex]: in tal caso conviene ricorrere direttamente alla definizione, trovare i coefficienti di Taylor e tutto il resto.
Che poi è quello che fa il tuo calcolatore online.
La sostituzione [tex]$t=x-2$[/tex] ti consente di calcolare l'espansione della tua funzione [tex]$\cos (x-2)$[/tex] in serie di Taylor centrata nel punto [tex]$2$[/tex] partendo dall'espansione standard del coseno di centro [tex]$0$[/tex].
Il tuo problema, invece, pare esser quello di trovare l'espansione in serie di Taylor di [tex]$\cos (x-2)$[/tex] di centro [tex]$0$[/tex]: in tal caso conviene ricorrere direttamente alla definizione, trovare i coefficienti di Taylor e tutto il resto.
Che poi è quello che fa il tuo calcolatore online.
"gugo82":
No, aspetta un momento... Mi sa che prima non ho centrato il punto.
La sostituzione [tex]$t=x-2$[/tex] ti consente di calcolare l'espansione della tua funzione [tex]$\cos (x-2)$[/tex] in serie di Taylor centrata nel punto [tex]$2$[/tex] partendo dall'espansione standard del coseno di centro [tex]$0$[/tex].
Il tuo problema, invece, pare esser quello di trovare l'espansione in serie di Taylor di [tex]$\cos (x-2)$[/tex] di centro [tex]$0$[/tex]: in tal caso conviene ricorrere direttamente alla definizione, trovare i coefficienti di Taylor e tutto il resto.
Che poi è quello che fa il tuo calcolatore online.
Cioè vuoi dire calcolare McLaurin direttamente senza applicare sostituzioni....ho capito bene?
Esatto... Tanto [tex]$f^{(1)}(x)=-\sin (x-2),\ f^{(2)}(x)=-\cos (x-2)=-f(x),\ f^{(3)}(x)=\sin (x-2)=-f^{(1)}(x)$[/tex] e così via; quindi non è difficile calcolare i coefficienti di Taylor di [tex]$f$[/tex] in [tex]$0$[/tex].
"gugo82":
Esatto... Tanto [tex]$f^{(1)}(x)=-\sin (x-2),\ f^{(2)}(x)=-\cos (x-2)=-f(x),\ f^{(3)}(x)=\sin (x-2)=-f^{(1)}(x)$[/tex] e così via; quindi non è difficile calcolare i coefficienti di Taylor di [tex]$f$[/tex] in [tex]$0$[/tex].
Ok grazie mille!
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