Taylor con resto di Peano
Ho un problema con il seguente sviluppo di Taylor con Resto di Peano:
$ f(x) = sqrt(x^8+1) $
centro $ x=0 $
ordine $ n=20$
la formula che utilizzo è la seguente:
$ Tn(x) = f(x0) + f'(x0) (x-x0) + (f''(x0)(x-x0))/2 +.....+ (f^(n)(x-x0)^n)/(n!) + o(x-x0)^n $
inizio a calcolare le diverse derivate (non vi scrivo i passaggi ma potete verificare su Walfram i risultati)
$ f(x0) = 1 $
$ f'(x0) = 0 $
$ f''(x0) = 0 $
andando a sostituire questi primi valori nel polinomio, mi accorgo che rimane solo il termine $ f(0) $ , ma andando a verificare sempre su Walfram mi accorgo che ci sono anche gli altri termini nello sviluppo...dove sbaglio? Alla fine le derivate le ho verificate ed escono sempre $ 0 $...
$ f(x) = sqrt(x^8+1) $
centro $ x=0 $
ordine $ n=20$
la formula che utilizzo è la seguente:
$ Tn(x) = f(x0) + f'(x0) (x-x0) + (f''(x0)(x-x0))/2 +.....+ (f^(n)(x-x0)^n)/(n!) + o(x-x0)^n $
inizio a calcolare le diverse derivate (non vi scrivo i passaggi ma potete verificare su Walfram i risultati)
$ f(x0) = 1 $
$ f'(x0) = 0 $
$ f''(x0) = 0 $
andando a sostituire questi primi valori nel polinomio, mi accorgo che rimane solo il termine $ f(0) $ , ma andando a verificare sempre su Walfram mi accorgo che ci sono anche gli altri termini nello sviluppo...dove sbaglio? Alla fine le derivate le ho verificate ed escono sempre $ 0 $...
Risposte
Ciao Steve.
Mi sembra di capire che non hai sviluppato fino all'ordine richiesto: a che ordine sei arrivato?
NB: Taylor in $x_0=0$ è conosciuto come sviluppo di McLaurin, ed è definito come
\[M\left( x \right) = f\left( 0 \right) + f'\left( 0 \right) \cdot x + \frac{{f''\left( 0 \right)}}{2} \cdot {x^2} + \frac{{f'''\left( 0 \right)}}{6} \cdot {x^3} + \cdots + \frac{{{f^n}\left( 0 \right)}}{{n!}}{x^n} + o\left( {{x^n}} \right)\]
Mi sembra di capire che non hai sviluppato fino all'ordine richiesto: a che ordine sei arrivato?
NB: Taylor in $x_0=0$ è conosciuto come sviluppo di McLaurin, ed è definito come
\[M\left( x \right) = f\left( 0 \right) + f'\left( 0 \right) \cdot x + \frac{{f''\left( 0 \right)}}{2} \cdot {x^2} + \frac{{f'''\left( 0 \right)}}{6} \cdot {x^3} + \cdots + \frac{{{f^n}\left( 0 \right)}}{{n!}}{x^n} + o\left( {{x^n}} \right)\]
non ho continuato a sviluppare perchè le derivate diventano impossibili da fare a mano e perchè avevo già riscontrato dei dubbi sulle prime derivate..per la formula conosco quella di McLaurin ma praticamente è uguale a quella di Taylor solo che toglie direttamente il termine $x0 $ che sappiamo essere già $ 0 $.
P.S. il risultato della serie DOVREBBE essere $ Tn(x) = 1 + x^8/2 + x^16/8 + o(x^19) $
P.S. il risultato della serie DOVREBBE essere $ Tn(x) = 1 + x^8/2 + x^16/8 + o(x^19) $
Il "trucco" in questo caso sta nell'accorgersi che, ogni volta che derivi, spuntano dei termini che aumentano di grado (o meglio: che preservano la derivata prima che annulla l'intero termine) e che calcolati in $0$ si annullano, quindi si possono trascurare - 2 esempi:
\[f''\left( x \right) = \frac{{28{x^6}\sqrt {{x^8} + 1} - \frac{{{{\left( {4{x^7}} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^8} + 1} }}}}{{{x^8} + 1}} \approx \frac{{28{x^6}\sqrt {{x^8} + 1} }}{{{x^8} + 1}} = \frac{{28{x^6}}}{{\sqrt {{x^8} + 1} }}\]
\[f'''\left( x \right) = \frac{{168{x^5}\sqrt {{x^8} + 1} - \frac{{28{x^6} \cdot 4{x^7}}}{{\sqrt {{x^8} + 1} }}}}{{{x^8} + 1}} \approx \frac{{28 \cdot 6{x^5}\sqrt {{x^8} + 1} }}{{{x^8} + 1}} = \frac{{168{x^5}}}{{\sqrt {{x^8} + 1} }}\]
\[ \cdots \]
\[f''\left( x \right) = \frac{{28{x^6}\sqrt {{x^8} + 1} - \frac{{{{\left( {4{x^7}} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^8} + 1} }}}}{{{x^8} + 1}} \approx \frac{{28{x^6}\sqrt {{x^8} + 1} }}{{{x^8} + 1}} = \frac{{28{x^6}}}{{\sqrt {{x^8} + 1} }}\]
\[f'''\left( x \right) = \frac{{168{x^5}\sqrt {{x^8} + 1} - \frac{{28{x^6} \cdot 4{x^7}}}{{\sqrt {{x^8} + 1} }}}}{{{x^8} + 1}} \approx \frac{{28 \cdot 6{x^5}\sqrt {{x^8} + 1} }}{{{x^8} + 1}} = \frac{{168{x^5}}}{{\sqrt {{x^8} + 1} }}\]
\[ \cdots \]
ok ma quindi come arrivo al risultato che ho scritto prima? cioè ogni derivata è praticamente uguale a $ 0 $ se calcolata in $ x0 = 0 $....da dove escono gli altri termini??
L'hai calcolata la derivata ottava con questo metodo? Quanto viene?
no no ora procedo e ti dico 
In pratica la derivata ottava dovrebbe essere: $ f^8(x) = 1306368 $
e quindi $ 1306368 x^8/( 8!) = 32,4 x^8 $
mi confermi che sia così? anche se mi sembra strano ci sia un termine con la virgola..e cmq non mi trovo con il risultato :/
e quindi $ 1306368 x^8/( 8!) = 32,4 x^8 $
mi confermi che sia così? anche se mi sembra strano ci sia un termine con la virgola..e cmq non mi trovo con il risultato :/
No...
\[{f^{viii}}\left( x \right) \approx \frac{{168 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2\sqrt {{x^8} + 1} }}{{{x^8} + 1}} = \frac{{168 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}}{{\sqrt {{x^8} + 1} }}\]
e perciò
\[ \Rightarrow \frac{{{f^{viii}}\left( 0 \right)}}{{8!}}{x^8} = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot {4^2} \cdot 3 \cdot 2}}{{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}}{x^8} = \frac{4}{8}{x^8} = \frac{{{x^8}}}{2}\]
Continuando ti accorgerai che si svilupperà in maniera analoga.
\[{f^{viii}}\left( x \right) \approx \frac{{168 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2\sqrt {{x^8} + 1} }}{{{x^8} + 1}} = \frac{{168 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}}{{\sqrt {{x^8} + 1} }}\]
e perciò
\[ \Rightarrow \frac{{{f^{viii}}\left( 0 \right)}}{{8!}}{x^8} = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot {4^2} \cdot 3 \cdot 2}}{{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}}{x^8} = \frac{4}{8}{x^8} = \frac{{{x^8}}}{2}\]
Continuando ti accorgerai che si svilupperà in maniera analoga.
si si ora mi trovo! grazie mille va benissimo ora!
Ora per trovare l'altro termine (che ho visto essere un $ x^16 $), devo continuare a calcolare tutte le altre derivate o c'è un modo per intuire quale derivata mi serve direttamente?
Posso fare un ragionamento tipo quello della funzione seno che so essere periodica ogni 4 cicli per intenderci?
grazie mille va benissimo ora!Ora per trovare l'altro termine (che ho visto essere un $ x^16 $), devo continuare a calcolare tutte le altre derivate o c'è un modo per intuire quale derivata mi serve direttamente?
Posso fare un ragionamento tipo quello della funzione seno che so essere periodica ogni 4 cicli per intenderci?
Ti conviene calcolarle passo-passo se vuoi essere (più) sicuro di non sbagliare - lascia perdere la ciclicità delle funzioni trigonometriche! 
ok ok grazie
Dato che \(f(x) = \sqrt{1+x^8} = g(x^8)\) con \(g(y) := \sqrt{1+y}\), puoi calcolare lo sviluppo di McLaurin di \(f\) centrato in \(0\) sfruttando quello di \(g\).
Infatti, dato che:
\[
g(y) = 1+\sum_{k=1}^K \frac{\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{2} -1\right)\cdots \left( \frac{1}{2} - k + 1\right)}{k!}\ y^k +\text{o} (y^K)
\]
hai:
\[
\begin{split}
f(x) &= g(x^8)\\
&= 1+\sum_{k=1}^K \frac{\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{2} -1\right)\cdots \left( \frac{1}{2} - k + 1\right)}{k!}\ x^{8k} +\text{o} (x^{8K})\\
&= 1 + \frac{\frac{1}{2}}{1!}\ x^8 + \frac{\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{2} -1\right)}{2!}\ x^{16} + \cdots + \frac{\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{2} -1\right)\cdots \left( \frac{1}{2} - K + 1\right)}{k!}\ x^{8K} + \text{o} (x^{8K})\; ,
\end{split}
\]
da cui, scegliendo \(K=2\) e \(K=3\), segue:
\[
\begin{split}
f(x) &= 1 + \frac{\frac{1}{2}}{1!}\ x^8 + \frac{\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{2} -1\right)}{2!}\ x^{16} + \text{o}(x^{16})\\
&= 1 + \frac{1}{2}\ x^8 - \frac{1}{8}\ x^{16} + \text{o}(x^{16})\\
f(x) &= 1 + \frac{1}{2}\ x^8 - \frac{1}{8}\ x^{16} + \frac{\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{2} -1\right)\cdot \left( \frac{1}{2} - 2\right)}{3!}\ x^{24} + \text{o} (x^{24})\\
&= 1 + \frac{1}{2}\ x^8 - \frac{1}{8}\ x^{16} + \frac{1}{16}\ x^{24} + \text{o}(x^{24})\; .
\end{split}
\]
Dal confronto delle precedenti trai che:
\[
f(x) = 1 + \frac{1}{2}\ x^8 - \frac{1}{8}\ x^{16} + \text{o}(x^n)
\]
per ogni \(16\leq n<24\); perciò la formula di McLaurin d'ordine \(n=20\) è:
\[
f(x) = 1 + \frac{1}{2}\ x^8 - \frac{1}{8}\ x^{16} + \text{o}(x^{20})\; .
\]
Infatti, dato che:
\[
g(y) = 1+\sum_{k=1}^K \frac{\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{2} -1\right)\cdots \left( \frac{1}{2} - k + 1\right)}{k!}\ y^k +\text{o} (y^K)
\]
hai:
\[
\begin{split}
f(x) &= g(x^8)\\
&= 1+\sum_{k=1}^K \frac{\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{2} -1\right)\cdots \left( \frac{1}{2} - k + 1\right)}{k!}\ x^{8k} +\text{o} (x^{8K})\\
&= 1 + \frac{\frac{1}{2}}{1!}\ x^8 + \frac{\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{2} -1\right)}{2!}\ x^{16} + \cdots + \frac{\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{2} -1\right)\cdots \left( \frac{1}{2} - K + 1\right)}{k!}\ x^{8K} + \text{o} (x^{8K})\; ,
\end{split}
\]
da cui, scegliendo \(K=2\) e \(K=3\), segue:
\[
\begin{split}
f(x) &= 1 + \frac{\frac{1}{2}}{1!}\ x^8 + \frac{\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{2} -1\right)}{2!}\ x^{16} + \text{o}(x^{16})\\
&= 1 + \frac{1}{2}\ x^8 - \frac{1}{8}\ x^{16} + \text{o}(x^{16})\\
f(x) &= 1 + \frac{1}{2}\ x^8 - \frac{1}{8}\ x^{16} + \frac{\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{2} -1\right)\cdot \left( \frac{1}{2} - 2\right)}{3!}\ x^{24} + \text{o} (x^{24})\\
&= 1 + \frac{1}{2}\ x^8 - \frac{1}{8}\ x^{16} + \frac{1}{16}\ x^{24} + \text{o}(x^{24})\; .
\end{split}
\]
Dal confronto delle precedenti trai che:
\[
f(x) = 1 + \frac{1}{2}\ x^8 - \frac{1}{8}\ x^{16} + \text{o}(x^n)
\]
per ogni \(16\leq n<24\); perciò la formula di McLaurin d'ordine \(n=20\) è:
\[
f(x) = 1 + \frac{1}{2}\ x^8 - \frac{1}{8}\ x^{16} + \text{o}(x^{20})\; .
\]
anche questo procedimento mi sembra ottimale, grazie!
senza che apro un nuovo topic, ho trovato una funzione del tipo $e^(sin^8(x)) $ da risolvere sino all'ordine $10$ centrato in $0$.
il risultato ho visto che è $ x^8 -4/3 x^10 $
Sono riuscito a risolverlo (quasi) tramite il primo metodo che mi è stato spiegato su questo post, ma avevo saltato il termine in $ x^10$ in quanto non era "visibile" ad occhio..
Non posso nemmeno applicare sviluppi "notevoli" per agevolarmi in quanto il seno è all'ottava (o sbaglio? ).
Come potrei fare?
il risultato ho visto che è $ x^8 -4/3 x^10 $
Sono riuscito a risolverlo (quasi) tramite il primo metodo che mi è stato spiegato su questo post, ma avevo saltato il termine in $ x^10$ in quanto non era "visibile" ad occhio..
Non posso nemmeno applicare sviluppi "notevoli" per agevolarmi in quanto il seno è all'ottava (o sbaglio? ).
Come potrei fare?
Beh, puoi sempre usare gli sviluppi notevoli... Solo che devi fare qualche contariello in più, con più attenzione agli ordini in ballo.
Dato che \(\sin^8 x \to 0\) per \(x\to 0\) e dato che la funzione è composta da \(f(y)=e^y\) e \(g(x)=\sin^8x\), hai:
\[
\begin{split}
f(y) &= 1 + y + \frac{1}{2}\ y^2 + \cdots + \frac{1}{N!}\ y^n + \text{o}(y^N)\\
g(x) &= \left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \cdots + \frac{1}{(2K+1)!}\ x^{2K+1} + \text{o} (x^{2K+1})\right)^8
\end{split}
\]
dunque:
\[
\begin{split}
f(g(x)) &= \left. 1 + y + \frac{1}{2}\ y^2 + \cdots + \frac{1}{N!}\ y^n + \text{o}(y^N) \right|_{y=\left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \cdots + \frac{1}{(2K+1)!}\ x^{2K+1} + \text{o} (x^{2K+1})\right)^8}\\
&= 1+ \left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \cdots + \frac{1}{(2K+1)!}\ x^{2K+1} +\text{o} (x^{2K+1})\right)^8 \\
&\phantom{=}+ \frac{1}{2}\ \left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \cdots + \frac{1}{(2K+1)!}\ x^{2K+1} + \text{o} (x^{2K+1})\right)^{16} + \cdots \\
&\phantom{=} + \frac{1}{N!}\ \left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \cdots + \frac{1}{(2K+1)!}\ x^{2K+1} + \text{o} (x^{2K+1})\right)^{8N} \\
&\phantom{=} + \text{o}\left( \left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \cdots + \frac{1}{(2K+1)!}\ x^{2K+1} + \text{o} (x^{2K+1})\right)^{8N}\right)\\
&= 1+ \left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \cdots + \frac{1}{(2K+1)!}\ x^{2K+1} + \text{o} (x^{2K+1})\right)^8 \\
&\phantom{=}+ \frac{1}{2}\ \left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \cdots + \frac{1}{(2K+1)!}\ x^{2K+1} + \text{o} (x^{2K+1})\right)^{16} + \cdots \\
&\phantom{=} + \frac{1}{N!}\ \left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \cdots + \frac{1}{(2K+1)!}\ x^{2K+1} + \text{o} (x^{2K+1})\right)^{8N} \\
&\phantom{=} + \text{o}\left( x^{8N}\right)\; ;
\end{split}
\]
cominciando con \(N\) e \(K\) "piccoli", diciamo con \(N=2\) e \(K=1\), troviamo:
\[
\begin{split}
f(g(x)) &= 1+ \left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \text{o} (x^3)\right)^8 \\
&\phantom{=}+ \frac{1}{2}\ \left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \text{o} (x^3)\right)^{16}\\
&\phantom{=} + \text{o}\left( x^{16}\right)\\
&= \left( x^8 - \frac{8}{6}\ x^{10} + \text{[termini di ordine } \geq 16\text{]}\right) +\\
&\phantom{=} + \frac{1}{2}\ \left( \text{[termini di ordine } \geq 16\text{]} \right) + \\
&\phantom{=} + \text{o}\left( x^{16}\right)\\
&= 1+ x^8 - \frac{4}{3}\ x^{10} + \underbrace{\text{[termini di ordine "grande"]}}_{=\text{o}(x^{10})}\\
&= 1+ x^8 - \frac{4}{3}\ x^{10} + \text{o}(x^{10})\; ,
\end{split}
\]
proprio come vlevamo.
Dato che \(\sin^8 x \to 0\) per \(x\to 0\) e dato che la funzione è composta da \(f(y)=e^y\) e \(g(x)=\sin^8x\), hai:
\[
\begin{split}
f(y) &= 1 + y + \frac{1}{2}\ y^2 + \cdots + \frac{1}{N!}\ y^n + \text{o}(y^N)\\
g(x) &= \left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \cdots + \frac{1}{(2K+1)!}\ x^{2K+1} + \text{o} (x^{2K+1})\right)^8
\end{split}
\]
dunque:
\[
\begin{split}
f(g(x)) &= \left. 1 + y + \frac{1}{2}\ y^2 + \cdots + \frac{1}{N!}\ y^n + \text{o}(y^N) \right|_{y=\left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \cdots + \frac{1}{(2K+1)!}\ x^{2K+1} + \text{o} (x^{2K+1})\right)^8}\\
&= 1+ \left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \cdots + \frac{1}{(2K+1)!}\ x^{2K+1} +\text{o} (x^{2K+1})\right)^8 \\
&\phantom{=}+ \frac{1}{2}\ \left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \cdots + \frac{1}{(2K+1)!}\ x^{2K+1} + \text{o} (x^{2K+1})\right)^{16} + \cdots \\
&\phantom{=} + \frac{1}{N!}\ \left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \cdots + \frac{1}{(2K+1)!}\ x^{2K+1} + \text{o} (x^{2K+1})\right)^{8N} \\
&\phantom{=} + \text{o}\left( \left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \cdots + \frac{1}{(2K+1)!}\ x^{2K+1} + \text{o} (x^{2K+1})\right)^{8N}\right)\\
&= 1+ \left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \cdots + \frac{1}{(2K+1)!}\ x^{2K+1} + \text{o} (x^{2K+1})\right)^8 \\
&\phantom{=}+ \frac{1}{2}\ \left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \cdots + \frac{1}{(2K+1)!}\ x^{2K+1} + \text{o} (x^{2K+1})\right)^{16} + \cdots \\
&\phantom{=} + \frac{1}{N!}\ \left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \cdots + \frac{1}{(2K+1)!}\ x^{2K+1} + \text{o} (x^{2K+1})\right)^{8N} \\
&\phantom{=} + \text{o}\left( x^{8N}\right)\; ;
\end{split}
\]
cominciando con \(N\) e \(K\) "piccoli", diciamo con \(N=2\) e \(K=1\), troviamo:
\[
\begin{split}
f(g(x)) &= 1+ \left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \text{o} (x^3)\right)^8 \\
&\phantom{=}+ \frac{1}{2}\ \left( x - \frac{1}{6}\ x^3 + \text{o} (x^3)\right)^{16}\\
&\phantom{=} + \text{o}\left( x^{16}\right)\\
&= \left( x^8 - \frac{8}{6}\ x^{10} + \text{[termini di ordine } \geq 16\text{]}\right) +\\
&\phantom{=} + \frac{1}{2}\ \left( \text{[termini di ordine } \geq 16\text{]} \right) + \\
&\phantom{=} + \text{o}\left( x^{16}\right)\\
&= 1+ x^8 - \frac{4}{3}\ x^{10} + \underbrace{\text{[termini di ordine "grande"]}}_{=\text{o}(x^{10})}\\
&= 1+ x^8 - \frac{4}{3}\ x^{10} + \text{o}(x^{10})\; ,
\end{split}
\]
proprio come vlevamo.
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