Taylor: AIUTO

[Giova411]

Scrivere il polinomio di Taylor di ordine 2 della funzione $f(x) = sin x $ con punto iniziale $x=pi/4$. Stimare il massimo errore possibile che si compie approssimando $sin (pi/5) $ con questo polinomio.

Bene, è un esercizio inedito per me... Ho alcune difficoltà.
(Tra qualche minuto posto una mia soluzione... Che credo sia parziale e/o errata)
Non ho le soluzioni finali cmq.

Grazie!

[Giova411]

Quello che non capisco dal testo è se il polinomio è centrato in $a=pi/4$ o $a=pi/5$????

Che significa punto iniziale?
Sto facendo una confusione assurda...

[_nicola de rosa]

"Giova411":Quello che non capisco dal testo è se il polinomio è centrato in $a=pi/4$ o $a=pi/5$????

Sto facendo una confusione assurda...

il polinomio è centrato in $x=pi/4$, almeno così capisco dalla traccia

[Giova411]

Ciao SuperNico!
Ok, allora ci riprovo!

Il testo che ho riportato è giusto, non è molto chiaro neanche a te?
Che significa punto iniziale?

[_nicola de rosa]

"Giova411":Ciao SuperNico!
Ok, allora ci riprovo!

Il testo che ho riportato è giusto, non è molto chiaro neanche a te?
Che significa punto iniziale?

$f(x)=sum_{n=0}^{+infty}(f^n(x_0)(x-x_0)^n)/(n!)$ ed il punto iniziale è $x_0=pi/4$

il polinomio ottenuto deve essere
$P(x)=1/(sqrt2)+1/(sqrt2)*(x-pi/4)-1/(2sqrt2)(x-pi/4)^2$

[Giova411]

Si il polinomio l'ho trovato $T_2(x)$.

So che $n=2$, $a=(pi/4)$ ma mi mancano altri dati.. (ma che non vedo io ovviamente...)

Cioé:
$|R_2(x)|<= (|x-(pi/4)|^3)/(3!)$ per $|x-(pi/4)|<= d$

Ma $d$ cos'é? Dove lo prendo? (Negli esempi il libro mi da' la pappetta pronta... Ora dove lo ricavo?)

[Giova411]

Buongiorno Raga!
C'é qualcuno che ha capito il testo?

[_luca.barletta]

Il polinomio di ordine 2 cercato è
$T_2(x)=sum_(n=0)^2 (f^((n))(x_0)(x-x_0)^n)/(n!)$ dove $x_0=pi/4$

L'errore che commetti nel calcolare $sin(pi/5)$ è al massimo pari al primo termine trascurato della serie di taylor:
$|E|<=|(f'''(x_0)(pi/5-x_0)^3)/(3!)|$

[Giova411]

"luca.barletta":Il polinomio di ordine 2 cercato è
$T_2(x)=sum_(n=0)^1 (f^((n))(x_0)(x-x_0)^n)/(n!)$ dove $x_0=pi/4$

L'errore che commetti nel calcolare $sin(pi/5)$ è al massimo pari al primo termine trascurato della serie di taylor:
$|E|<=|(f''(x_0)(pi/5-x_0)^2)/(2!)|$

Riesci sempre a rendere le cose + facili di quel che sembrano...
Quindi:

$|E|<= |(-1/(sqrt(2))(pi/5-pi/4)^2)/(2!)|$
$E<=0,00872$ Solo questo è ciò che richiedeva il problema? O c'é altro da trovare?

Fammi capire, ti prego...
Come mai la serie parte da $0$ e si ferma ad $1$? Come fai a capirlo?
Pure il fatto che il primo termine trascurato sia $n=2$ non mi è chiaro...
Cioé il problema chiede taylor di ordine 2 quindi io (ignorantone) ho pensato che il primo termine trascurato fosse con n=3...
Come devo ragionare porca zozzetta?! E' un problema col "trabocchetto" questo...

[_luca.barletta]

"Giova411": Solo questo è ciò che richiedeva il problema? O c'é altro da trovare?

solo questo

Come mai la serie parte da $0$ e si ferma ad $1$? Come fai a capirlo?
Pure il fatto che il primo termine trascurato sia $n=2$ non mi è chiaro...
Cioé il problema chiede taylor di ordine 2 quindi io (ignorantone) ho pensato che il primo termine trascurato fosse con n=3...
Come devo ragionare porca zozzetta?! E' un problema col "trabocchetto" questo...

ecco, qui è un problema di nomenclatura. Per polinomio di Taylor di ordine n si intende lo sviluppo della serie di Taylor fino al termine di grado n. Quindi rettifico la mia risposta di prima, ma la sostanza non cambia

[Giova411]

Come sempre,
Grazie!