Taylor
Ciao a tutti
Per favore potete mostrarmi tutti i passaggi magari tranne quelli di derivazione per scrivere la SERIE di Taylor come sommatoria della funzione:
$1/(2+xy^2)$ in un intorno di $(0,0)$ ?
Grazie
Per favore potete mostrarmi tutti i passaggi magari tranne quelli di derivazione per scrivere la SERIE di Taylor come sommatoria della funzione:
$1/(2+xy^2)$ in un intorno di $(0,0)$ ?
Grazie
Risposte
no però posso darti un suggerimento... considera la funzione $f(\epsilon)=1/(2+\epsilon)$, che si sà sviluppare come serie di Taylor (la serie geometrica), di cui sai anche il raggio di convergenza (fortunello! 
)... così hai scritto la funzione come serie di polinomi in x ed y.... ora per fermarti all'ordine voluto basta che trascuri i termini che non ti interessano...
ciao!
)... così hai scritto la funzione come serie di polinomi in x ed y.... ora per fermarti all'ordine voluto basta che trascuri i termini che non ti interessano... ciao!
Grazie, ma non credo di aver capito... Il problema è che non ho mai affrontato esercizi di questo tipo, in aula abbiamo fatto applicazioni di altro tipo, ma voglio imparare a fare anche questa tipologia... Se per favore tu o qualcuno può spiegarmelo passo passo...
In effetti, come dice Thomas , se riscrivi la funzione $f(x,y) = 1/(2+xy^2) $ in questo modo :
$ 1/[2(1+((xy^2)/2))] =(1/2)*1/(1+((xy^2)/2) $ la puoi considerare come risultato della somma di una serie geometrica di ragione $ -xy^2/2 $ , purchè naturalmente sia $ |-((xy^2)/2)| < 1 $.
lo sviluppo è quindi : $ (1/2)*[ 1-(xy^2)/2+(x^2*y^4)/4 -(x^3y^6)/8+....] $
$ 1/[2(1+((xy^2)/2))] =(1/2)*1/(1+((xy^2)/2) $ la puoi considerare come risultato della somma di una serie geometrica di ragione $ -xy^2/2 $ , purchè naturalmente sia $ |-((xy^2)/2)| < 1 $.
lo sviluppo è quindi : $ (1/2)*[ 1-(xy^2)/2+(x^2*y^4)/4 -(x^3y^6)/8+....] $
grazie mille, adesso credo di aver capito!
Ma questo ragionamento non è un po' particolare? Non lo posso applicare ad esempio a funzioni logaritmiche! Adesso provo a farne qualcuna in caso spero di ricevere altro aiuto prezioso
grazie
Ma questo ragionamento non è un po' particolare? Non lo posso applicare ad esempio a funzioni logaritmiche! Adesso provo a farne qualcuna in caso spero di ricevere altro aiuto prezioso
grazie
Allora.. adesso ho capito dove sbagliavo.. in pratica dimenticavo a mettere i coefficienti fattoriali davanti alle derivate!!!!
Mi rimane solo un lato oscuro: Come mai è lecito sostituire $xy^2$ con $t$ ad esempio, come ho fatto io, e risostituire alla fine, senza considerare il differenziale di t?
Grazie
Mi rimane solo un lato oscuro: Come mai è lecito sostituire $xy^2$ con $t$ ad esempio, come ho fatto io, e risostituire alla fine, senza considerare il differenziale di t?
Grazie
Per favore spiegatemi solo questo e poi non rompo più (con Taylor):
Perchè per sviluppare in serie $arctag(x+xy)$ intorno al punto (0,-1) posso sostituire a $x+xy$ $t$, sfruttare lo sviluppo in serie di arctag e poi sostituire alla fine t=x+xy, mentre per sviluppare in serie
$f(x,y)=1/(2+x-2y)$ intorno a (2,1) fino al grado 3 devo fare tutte le derivate miste che occorrono e non posso sostituire niente prima per facilitare i conti?
GRAZIE
Perchè per sviluppare in serie $arctag(x+xy)$ intorno al punto (0,-1) posso sostituire a $x+xy$ $t$, sfruttare lo sviluppo in serie di arctag e poi sostituire alla fine t=x+xy, mentre per sviluppare in serie
$f(x,y)=1/(2+x-2y)$ intorno a (2,1) fino al grado 3 devo fare tutte le derivate miste che occorrono e non posso sostituire niente prima per facilitare i conti?
GRAZIE
Nel caso di due variabili lo sviluppo di una funzione in serie di Taylor è un poco più complicato che non quando la variabile è una sola, soprattutto per la presenza di 'derivate miste'. Volendo limitarci al primo ordine e metterci nell'intorno di $(0,0)$ si ha lo sviluppo di Mac Laurin...
$f(x,y)= f(0,0)+x* (df(0,0))/dx+y* (df(0,0))/dy + R_1$ (1)
... ove $R_1->0$ per $x,y->(0,0)$. Essendo...
$f(x,y)= 1/(2+x*y^2)$ (2)
... sarà...
$(df)/(dx)= -y^2/(2+x*y^2)^2$
$(df)/(dy)= -2*xy/((2+x*y^2)^2)$ (3)
In $(0,0)$ è $(df)/dx=0$ e $(df)/dy=0$ per cui è ...
$1/(2+x*y^2)= 1/2 + R_1$ (4)
... ovviamente se non ho fatto [nuovamente] errori
...
Il mio intervento ha voluto semplicemente far notare come nel caso di due variabili [e più ancora nel caso di $n$ variabili...] lo sviluppo di una funzione in serie di Taylor divenga, a meno che non si riesca ad usare qualche 'sotterfugio' come in questo caso, complicato al opunto da 'scoraggiare' il suo impiego...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$f(x,y)= f(0,0)+x* (df(0,0))/dx+y* (df(0,0))/dy + R_1$ (1)
... ove $R_1->0$ per $x,y->(0,0)$. Essendo...
$f(x,y)= 1/(2+x*y^2)$ (2)
... sarà...
$(df)/(dx)= -y^2/(2+x*y^2)^2$
$(df)/(dy)= -2*xy/((2+x*y^2)^2)$ (3)
In $(0,0)$ è $(df)/dx=0$ e $(df)/dy=0$ per cui è ...
$1/(2+x*y^2)= 1/2 + R_1$ (4)
... ovviamente se non ho fatto [nuovamente] errori
...Il mio intervento ha voluto semplicemente far notare come nel caso di due variabili [e più ancora nel caso di $n$ variabili...] lo sviluppo di una funzione in serie di Taylor divenga, a meno che non si riesca ad usare qualche 'sotterfugio' come in questo caso, complicato al opunto da 'scoraggiare' il suo impiego...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"matematicoestinto":
Per favore spiegatemi solo questo e poi non rompo più (con Taylor):
Perchè per sviluppare in serie $arctag(x+xy)$ intorno al punto (0,-1) posso sostituire a $x+xy$ $t$, sfruttare lo sviluppo in serie di arctag e poi sostituire alla fine t=x+xy, mentre per sviluppare in serie
$f(x,y)=1/(2+x-2y)$ intorno a (2,1) fino al grado 3 devo fare tutte le derivate miste che occorrono e non posso sostituire niente prima per facilitare i conti?
GRAZIE
scusa ma perchè non puoi sostituire nel secondo caso $(x-2y)=t$ e sviluppare per t in 0????? ti vengono ris diversi? mi sfugge il motivo al momento.... non è che puoi controllare?
"lupo grigio":
Il mio intervento ha voluto semplicemente far notare come nel caso di due variabili [e più ancora nel caso di $n$ variabili...] lo sviluppo di una funzione in serie di Taylor divenga, a meno che non si riesca ad usare qualche 'sotterfugio' come in questo caso, complicato al opunto da 'scoraggiare' il suo impiego...
beh dai non esageriamo... almeno fino al differenziale primo la serie di Taylor si usa spesso, e se la funzione và da $R^n$ in $R$, anche il differenziale secondo è trattabile... più in là non so... immagino ci voglia un pò di manualità col calcolo tensoriale che assolutamente non ho...
cmq se non sbaglio vale di più per R1, vale che $R1=o(sqrt(|x|^2+|y|^2))....
scusa ma perchè non puoi sostituire nel secondo caso $(x-2y)=t$ e sviluppare per t in 0????? ti vengono ris diversi? mi sfugge il motivo al momento.... non è che puoi controllare?
La prof in classe aveva svolto tutti i vari apssaggi applicando la formula di Taylor per le funzionui di più variabili, senza eseguire la sostituzione. Adesso io ho fatto sviluppare a deriva facendo la sostituzione che mi hai proposto e poi sostituendo alla fine, ma ottengo un risultato diverso.
Grazie e scusa se la mia risposta non è stata proprio tempestiva
mmm... forse ho capito...
ti spiego cosa penso di aver capito...
nel caso dell'arcotangente funzione perchè tu sviluppi (considero l'ordine 1) fino ad un o(x(y+1)) e contemporaneamente se lo vedi come funzione di 2 variabili dopo la sostituzione ad un $o-(|x|+|y+1|)$ e questo lo vedi perchè:
$lim_((x,y)->(0,-1)) f(x,y)/(|x|+|y+1|)=lim_(...)(f(x,y)/(x(y+1) ))*lim_(...) (x(y+1))/(|x|+|y+1|)=0$
e i passaggi sono leciti perchè (controlla che potrei sbagliare)
$lim_(...) (x(y+1))/(|x|+|y+1|)=0$
nell'altro sviluppo se provi a seguire il medesimo procedimento arrivi a calcolare il limite
$lim_((x,y)->(2,-1)) |x-2y|/(|x-2|+|y+1|)$
che non mi risulta essere zero ed in particolare esistono percorsi su cui scoppia... e quindi gli o-piccoli non vengono "ben trattati"...
ti spiego cosa penso di aver capito...
nel caso dell'arcotangente funzione perchè tu sviluppi (considero l'ordine 1) fino ad un o(x(y+1)) e contemporaneamente se lo vedi come funzione di 2 variabili dopo la sostituzione ad un $o-(|x|+|y+1|)$ e questo lo vedi perchè:
$lim_((x,y)->(0,-1)) f(x,y)/(|x|+|y+1|)=lim_(...)(f(x,y)/(x(y+1) ))*lim_(...) (x(y+1))/(|x|+|y+1|)=0$
e i passaggi sono leciti perchè (controlla che potrei sbagliare)
$lim_(...) (x(y+1))/(|x|+|y+1|)=0$
nell'altro sviluppo se provi a seguire il medesimo procedimento arrivi a calcolare il limite
$lim_((x,y)->(2,-1)) |x-2y|/(|x-2|+|y+1|)$
che non mi risulta essere zero ed in particolare esistono percorsi su cui scoppia... e quindi gli o-piccoli non vengono "ben trattati"...
devo dedurre che vi ho convinti? 
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