Taylor

[Aeon1]

Avendo un po' di problemi con queste serie chiedo a voi
scrivere la formula di taylor di f e determinare $f^(5)(0)$ (derivata quinta in 0)

f= $x^3/3-senx+xcosx$

grazie mille

[leev]

Ciao,
se vuoi taylor rispetto a $x_0 = 0$, puoi prendere gli sviluppi classici di seno e coseno
($cos(x)=1-x^2/(2!) + x^4/(4!) -....$, $sin(x) = x-x^3/(3!) + x^5/(5!) - ...$ ), sostituirli nella tua funzione per ottenere un unica sommatoria;
per determinare $f^5(0)$ ti basta moltiplicare il coefficiente di $x^5$ nello sviluppo di taylor per $5!$

[Aeon1]

"leev":Ciao,
se vuoi taylor rispetto a $x_0 = 0$, puoi prendere gli sviluppi classici di seno e coseno
($cos(x)=1-x^2/(2!) + x^4/(4!) -....$, $sin(x) = x-x^3/(3!) + x^5/(5!) - ...$ ), sostituirli nella tua funzione per ottenere un unica sommatoria;
per determinare $f'(0)$ ti basta moltiplicare il coefficiente di $x^5$ nello sviluppo di taylor per $5!$

scusa, ma non ho capito la frase in grassetto
cioè... ho capito cosa vuoi dire, ma perchè?

[Camillo]

E infatti ottieni, fermandoti ai termini in $ x^5$ : $x^3/3-(x-x^3/(3!) +x^5/(5!))+x(1-x^2/(2!)+x^4/(4!)) = x^5/30 $

[Aeon1]

dovrebbe risultare 4

[Fioravante Patrone1]

1/30 (vedi Camillo) moltiplicato per 5! = 120 (vedi post di leev) fa appunto 4...

quanto alla frase in grassetto, il coeff di $x^n$ mi risulta sia $f^{(n)}/{n!}$ e quindi non mi pare strano che, per ottenere $f^{(n)}$ si debba prendere il coeff di $x^n$ e moltiplicarlo per $n!$ (nella parte che hai messo in grassetto del post di leev c'è un misprint, in quanto parla di $f'$ ma ovviamente voleva dire $f^{(5)}$)

[leev]

correggo subito, grazie

[Aeon1]

"Camillo":E infatti ottieni, fermandoti ai termini in $ x^5$ : $x^3/3-(x-x^3/(3!) +x^5/(5!))+x(1-x^2/(2!)+x^4/(4!)) = x^5/30 $

scusa, ma non ho capito
x^5/30 per x=0 è 1/30??

[Camillo]

"Aeon":[quote="Camillo"]E infatti ottieni, fermandoti ai termini in $ x^5$ : $x^3/3-(x-x^3/(3!) +x^5/(5!))+x(1-x^2/(2!)+x^4/(4!)) = x^5/30 $

scusa, ma non ho capito
x^5/30 per x=0 è 1/30??[/quote]

Se approssimi la funzione iniziale con un polinomio di Taylor e ti fermi al termine di quinto grado, cioè $x^5 $ , allora ottieni $x^5/30$ che vale $0$ in $x=0 $ ( non $1/30$ !!).
La funzione iniziale vale comunque $0 $ per $x = 0 $ mentre è approssimata da $1/30$ per $ x = 1 $.

[Aeon1]

"Fioravante Patrone":1/30 (vedi Camillo) moltiplicato per 5! = 120 (vedi post di leev) fa appunto 4...

quanto alla frase in grassetto, il coeff di $x^n$ mi risulta sia $f^{(n)}/{n!}$ e quindi non mi pare strano che, per ottenere $f^{(n)}$ si debba prendere il coeff di $x^n$ e moltiplicarlo per $n!$ (nella parte che hai messo in grassetto del post di leev c'è un misprint, in quanto parla di $f'$ ma ovviamente voleva dire $f^{(5)}$)

ma lui ha scritto 1/30

che confusione che ho in testa

[Aeon1]

"Camillo":[quote="Aeon"][quote="Camillo"]E infatti ottieni, fermandoti ai termini in $ x^5$ : $x^3/3-(x-x^3/(3!) +x^5/(5!))+x(1-x^2/(2!)+x^4/(4!)) = x^5/30 $

scusa, ma non ho capito
x^5/30 per x=0 è 1/30??[/quote]

Se approssimi la funzione iniziale con un polinomio di Taylor e ti fermi al termine di quinto grado, cioè $x^5 $ , allora ottieni $x^5/30$ che vale $0$ in $x=0 $ ( non $1/30$ !!).
La funzione iniziale vale comunque $0 $ per $x = 0 $ mentre è approssimata da $1/30$ per $ x = 1 $.[/quote]

ok, capito, ma perchè approssimate a 1?

[Aeon1]

cioè, non approssimate, ponete x=1

[leev]

"Aeon":cioè, non approssimate, ponete x=1

credo perché il discorso ha perso ormai la retta via

l'1/30 è il coefficiente di $x^5$ (che è uguale anche all'approssimazione della funzione in x=1...ma questo non penso ti interessi per l'esercizio)

[Aeon1]

ma tutte queste cose la prof mica le ha spiegate.... mah

[leev]

come avreste dovuto risolverlo l'esercizio?

il fatto che $a_n = (f^{(n)}(0))/(n!)$ si può verificare facilmente anche se non l'hai visto al corso

[Aeon1]

"leev":come avreste dovuto risolverlo l'esercizio?

il fatto che $a_n = (f^{(n)}(0))/(n!)$ si può verificare facilmente anche se non l'hai visto al corso

non ho la minima idea di come avremmo dovuto risolverlo, abbiamo fatto solo teoria (con pochi esempi), avremmo dovuto trattarlo durante l'esercitazione ma non c'è stato tempo...

Ora mi aspettano quelli con resto di peano

[leev]

"Aeon":[quote="leev"]come avreste dovuto risolverlo l'esercizio?

il fatto che $a_n = (f^{(n)}(0))/(n!)$ si può verificare facilmente anche se non l'hai visto al corso

non ho la minima idea di come avremmo dovuto risolverlo, abbiamo fatto solo teoria (con pochi esempi), avremmo dovuto trattarlo durante l'esercitazione ma non c'è stato tempo...

Ora mi aspettano quelli con resto di peano [/quote]

, se ne fa sempre un po' troppa di teoria..a mio modo di vedere.
Io nel calcolo sono nullo, eppure teoricamente dovrei saper risolvere una barca di roba

Sei hai altri problemi posta pure, io potrei facilmente interessarmi.

buon divertimento

[Skorpjone]

problemi con taylor e mclaurin anche per me....ad esempio, data la funzione $f(x)=log[(1-x)/(1+x)]$ applicare McLaurin arrestando lo sviluppo al 3° ordine significa calcolare, con x0=0, $T3(x)=f(0)+f'(0)x+(f''(0)/2)x^2+(f'''(0)/3!)x^3$ e quindi $0-2x+0-(2/3)x^3$, giusto? ma se devo applicare Taylor arrestandomi al 5° ordine per calcolare il valore approssimato di $e$, piuttosto che di $sqrte$ che cavolo devo fare? che x0 mi scelgo?

[Camillo]

Il modo più semplice è scegliere $ x_0 = 0 $ ; lo sviluppo di $ e ^x $ arrestato al 5° termine è allora $ 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120$ .
Per calcolare il valore approssimato di $e $ , poni $ x=1 $.

[Skorpjone]

ok ti ringrazio...ma se prendo x0=0 la formula diventerebbe quella di mclaurin mentre nell'esercizio parla chiaramente di Taylor......

PS forse sto facendo confusione ma se pongo x0=1 e applico taylor sulla $f(x)=e^x$ mi esce fuori un polinomio di 5° grado mentre nell'esercizio mi dice che il valore di e approx con taylor arrestato al 5° ordine è uguale a 2,716.....evidentemente qua sto sbagliando qualcosa nel procedimento......