Taylor 2° Ordine [2 variabili]
Buongiorno a tutti, avrei bisogno di una mano con questo calcolo, è la prima volta che ne faccio uno e mi sa che mi sono un po' perso, so che è un po' noioso quindi un doppio grazie a chiunque mi aiuti:
$f(x,y)=ln(x^2y+x+1)$
Ne devo scrivere il polinomio di McLaurin (o di Taylor in $(0,0)$ )del 2° ordine:
$(delf)/(delx) = (2xy+1)/(x^2y+x+1)$
$(delf)/(dely) = (x^2)/(x^2y+x+1)$
$(del^2f)/(delx^2) = (2y(x^2y+x+1)-(2xy+1)(2xy+1))/(x^2y+x+1)^2=(2y(x^2y+x+1)-(2xy+1)^2)/(x^2y+x+1)^2$
$(del^2f)/(dely^2) = x^2/x^2=1$
$(del^2f)/(delxdely)=(del^2f)/(delydelx)=(2x(x^2y+x+1)-x^2(2xy+1))/(x^2y+x+1)^2$
Quindi ottengo:
$\gradf=(1,0)$
$Hf=((-1,0),(0,1))$
che è la hessiana associata alla forma quadratica $Q=-x^2+y^2$
La formula che il libro mi da per trovare Taylor al secondo ordine è:
$T=f(0,0)+\gradf_(0,0)*[(x,y)-(0,0)]+1/2*Q*[(x,y)-(0,0)]$
(dove Q è la forma quadratica associata alla hessiana)
così visto che la forma quadratica è moltiplicata per x e y mi viene qualcosa di 3° e non è possibile perchè il risultato dovrebbe essere l'equazione della quadrica che meglio approssima la funzione in $(0,0)$.
Se invece non faccio l'ultima moltiplicazione, cioè:
$T=f(0,0)+\gradf_(0,0)*[(x,y)-(0,0)]+1/2*Q$
il polinomio al secondo ordine è:
$f_(p)=x-1/2x^2+1/2y^2$
e secondo il grafico molto zoomato nell'origine, dovrebbe essere la soluzione corretta, cosa ne pensate? (quella celeste è la funzione, mentre quella gialla è il polinomio di taylor, zoomando ancora di più si trovano due piani coincidenti)
Grazie a chiunque voglia rispondere
$f(x,y)=ln(x^2y+x+1)$
Ne devo scrivere il polinomio di McLaurin (o di Taylor in $(0,0)$ )del 2° ordine:
$(delf)/(delx) = (2xy+1)/(x^2y+x+1)$
$(delf)/(dely) = (x^2)/(x^2y+x+1)$
$(del^2f)/(delx^2) = (2y(x^2y+x+1)-(2xy+1)(2xy+1))/(x^2y+x+1)^2=(2y(x^2y+x+1)-(2xy+1)^2)/(x^2y+x+1)^2$
$(del^2f)/(dely^2) = x^2/x^2=1$
$(del^2f)/(delxdely)=(del^2f)/(delydelx)=(2x(x^2y+x+1)-x^2(2xy+1))/(x^2y+x+1)^2$
Quindi ottengo:
$\gradf=(1,0)$
$Hf=((-1,0),(0,1))$
che è la hessiana associata alla forma quadratica $Q=-x^2+y^2$
La formula che il libro mi da per trovare Taylor al secondo ordine è:
$T=f(0,0)+\gradf_(0,0)*[(x,y)-(0,0)]+1/2*Q*[(x,y)-(0,0)]$
(dove Q è la forma quadratica associata alla hessiana)
così visto che la forma quadratica è moltiplicata per x e y mi viene qualcosa di 3° e non è possibile perchè il risultato dovrebbe essere l'equazione della quadrica che meglio approssima la funzione in $(0,0)$.
Se invece non faccio l'ultima moltiplicazione, cioè:
$T=f(0,0)+\gradf_(0,0)*[(x,y)-(0,0)]+1/2*Q$
il polinomio al secondo ordine è:
$f_(p)=x-1/2x^2+1/2y^2$
e secondo il grafico molto zoomato nell'origine, dovrebbe essere la soluzione corretta, cosa ne pensate? (quella celeste è la funzione, mentre quella gialla è il polinomio di taylor, zoomando ancora di più si trovano due piani coincidenti)
Grazie a chiunque voglia rispondere
Risposte
La $Q$ che hai scritto nella formula di Taylor è la matrice Hessiana calcolata nel centro dello sviluppo.
Hai sbagliato a fare la derivata parziale seconda rispetto alla y : ho visto che giustamente hai pensato di togliere dal denominatore gli infinitesimi di ordine superiore, ma hai cancellato per sbaglio un $2x$.. se fai per bene i calcoli, quindi, vedrai che vien $x^4/(2x)$ che in 0 vale 0..
un consiglio: quando ti è richiesto di calcolare semplicemente il polinomio di taylor, usa quello che usavi per una variabile, va più che bene..
es $ln((x^2y + x) + 1) = x - x^2/2 + o||x^2 + y^2||$
un consiglio: quando ti è richiesto di calcolare semplicemente il polinomio di taylor, usa quello che usavi per una variabile, va più che bene..
es $ln((x^2y + x) + 1) = x - x^2/2 + o||x^2 + y^2||$
Ah quindi posso utilizzare semplicemente lo sviluppo come se fosse di una variabile sola?
Grazie ad entrambi per le risposte.
Grazie ad entrambi per le risposte.
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