Taylor

[VALE014]

Buongiorno ho questo limite con Taylor $ lim_(x -> 0) [(1-e^(-x^2)+x^3sen(1/x)]/x^2] $ io di questa funzuone conosco tutti gli sviluppi tranne di sen(1/x) questo come lo posso trovare? Grazie in anticipo

[Studente Anonimo]

Puoi procedere anche utilizzando il limite notevole sottostante:

$[lim_(x->x_0)f(x)=0] rarr [lim_(x->x_0)(e^(f(x))-1)/f(x)=1]$

Infatti:

$lim_(x->0)[(1-e^(-x^2)+x^3sen(1/x))/x^2]=lim_(x->0)[(e^(-x^2)-1)/(-x^2)+xsen(1/x)]$

Inoltre, essendo $sen(1/x)$ limitata:

$lim_(x->0)xsen(1/x)=0$

[VALE014]

E il limite notevole lo posso applicare solo al seno e dopo procedo con Taylor?

[Studente Anonimo]

Il limite che puoi trattare in due modi, mediante il limite notevole o lo sviluppo in serie, è il seguente:

$lim_(x->0)(e^(-x^2)-1)/(-x^2)=1$

Per trattare l'altro limite:

$lim_(x->0)xsen(1/x)=0$

devi ricorrere al teorema secondo il quale il limite del prodotto di due funzioni, una infinitesima:

$f_1(x)=x$

l'altra limitata:

$f_2(x)=sen(1/x)$

è necessariamente nullo.

[VALE014]

Ok grazie mille:)gentilissimo