Tangenza

[N56VZ]

Ciao ragazzi ho un dubbio su questo esercizio e non so proprio come procedere nello svolgimento:
Sia $ w:R->R^3 $ data da $w(t)=(3t,5t^2,3t^3)$ e S l'immagine di w.
Allora il vettore $v=(3,0,-1)$ è:
1)normale a S in $w(1)$
2)tangente a S in $w(1)$
3)normale a S in $w(2)$
4)tangente a S in $w(2)$
Sinceramente non so che pesci pigliare, ho provato a sostituire i valori di v dentro w(t) ma non ottengo nulla, grazie.

[gugo82]

Beh, questo è il tipico esercizio per risolvere il quale è necessario solamente applicare una definizione.

Che vuol dire che un vettore \(\mathbf{v}\) è tangente [risp. normale] ad una curva in un punto?

[Emar1]

Per prima cosa ti consiglio di calcolare il vettore tangente $\mathbf{w}'(t)$ e il vettore normale della curva $\mathbf{w}(t)$. Fatto ciò potrai imporre $t=1,2$ e vedere se ottieni il vettore dato. Oppure puoi ragionare in modo inverso e trovare per quali valori di $t$ il vettore tangente e quello normale sono uguali al vettore $\mathbf{v}$.

Sai come calcolare i vettori tangente e normale?

EDIT: Mi sono sovrapposto con Gugo. Non avevo visto la sua risposta.

[N56VZ]

"gugo82":Beh, questo è il tipico esercizio per risolvere il quale è necessario solamente applicare una definizione.
Che vuol dire che un vettore \(\mathbf{v}\) è tangente [risp. normale] ad una curva in un punto?

Dico che un vettore v è tangente a S quando v=0 oppure esiste una successione {s k} di elementi S\s0 che converge a s0 e il limite di $(sk-s0)/|sk-s0|=v/|v|$.
sinceramente non so come calcolarmi ne il vettore tangente ne quello normale

ho letto adesso sul forum qualche discussione simile ed ho visto che se derivo la prima volta ottengo il vettore tangente, derivando un'altra volta trovo quello normale (ma questo non è sempre vero), tuttavia non riesco comunque a risolverlo

[Emar1]

Posso chiederti quale corso stai frequentando? Non conosci un po' di geometria differenziale delle curve? Sistema di riferimento di Frenèt per esempio?

[N56VZ]

sono al primo anno e frequento matematica, precisamente questa domanda è nell'esame di analisi 1, nel libro c'è un solo esempio ma crea una successione e non credo centri molto

[Emar1]

Il vettore tangente ad una curva non è altro che la derivata della parametrizzazione della curva rispetto al parametro. Credo che quel modo di definire il versore tangente sia un modo alternativo per scrivere il limite del rapporto incrementale, ovvero la derivata. Una sorta di "derivazione per successioni".

[N56VZ]

"Emar":Il vettore tangente ad una curva non è altro che la derivata della parametrizzazione della curva rispetto al parametro. Credo che quel modo di definire il versore tangente sia un modo alternativo per scrivere il limite del rapporto incrementale, ovvero la derivata. Una sorta di "derivazione per successioni".

ok lo derivo ed ottengo $w'(t)=(3,10t,9t^2)$, comunque non so che farne adesso

corretta la derivata

[N56VZ]

qualcuno mi dia una mano please!

[Emar1]

Ammesso che quella derivata sia giusta (la funzione che hai scritto nel primo post ha una derivata differente), non ti resta che sostituire i valori $t=1,2$ e vedere se per quei valori il vettore tangente $w'(t)$ coincide, in direzione, con il vettore $v$. In questo modo verifichi i punti 2) e 4).

[N56VZ]

Sostituendo ottengo per t=1 (3,10,9)
e per t=2 (3,20,36) sarò demente ma continuo a non capire l'esercizio nè perchè lo stiamo svolgendo in questo modo

[Emar1]

"N56VZ":Sostituendo ottengo per t=1 (3,10,9)
e per t=2 (3,20,36) sarò demente ma continuo a non capire l'esercizio nè perchè lo stiamo svolgendo in questo modo

Non so che dirti. Data una curva nello spazio il vettore tangente si calcola nel modo che ti ho detto (rif).

Non so poi quale sia la tua definizione di tangente e normale o se si intenda un altro concetto. Io ci ho provato a darti una mano non so che dirti. Prova ad aspettare qualcuno di più esperto!

[N56VZ]

Ti ringrazio comunque per l'aiuto che mi hai dato, il problema sono io che sono tarato