Tangenti al grafico
ho un problema con un esercizio di Analisi.
data la f(x) = arctg $(x)/(x-1)$
devo trovare quante e quali sono le rette tangenti al grafico della f si possono tracciare dal punto P(0,0)
l'equazione della retta tangente è y= Df($x_0$) (x- $x_0$) + f ($x_0$)
alla x e alla y sostituisco i valori (0,0)
ed ottengo $(x)/(2 x^2 -2x +1)$ + arctg $(x)/(x-1)$ = 0
il problema è che non so risolvere questa equazione...
sapreste aiutarmi?!
l'esercizio poi mi chiede di trovare, posto P(0,k), per quali valori di k esistono 3 rette tangenti al grafico della f uscenti dal punto P.
anche qui non so come procedere...
ringrazio anticipatamente.
data la f(x) = arctg $(x)/(x-1)$
devo trovare quante e quali sono le rette tangenti al grafico della f si possono tracciare dal punto P(0,0)
l'equazione della retta tangente è y= Df($x_0$) (x- $x_0$) + f ($x_0$)
alla x e alla y sostituisco i valori (0,0)
ed ottengo $(x)/(2 x^2 -2x +1)$ + arctg $(x)/(x-1)$ = 0
il problema è che non so risolvere questa equazione...
sapreste aiutarmi?!
l'esercizio poi mi chiede di trovare, posto P(0,k), per quali valori di k esistono 3 rette tangenti al grafico della f uscenti dal punto P.
anche qui non so come procedere...
ringrazio anticipatamente.
Risposte
Anzitutto dovresti visualizzare il grafico della funzione. Un semplice studio di funzione con grafico approssimativo può aiutare molto nella risoluzione di questi esercizi.
In particolare nota che la tua $f(x)$ passa per (0,0).
Per l'equazione cartesiana, in quel modo non trovi la retta passante per un punto a tua scelta esterno alla curva, ma trovi la retta tangente ad un punto di ascissa $x_0$ e ordinata $f(x_0)=y_0$. Inoltre la sostituzione da te operata non è corretta (non devi sostituire la $y$, e $f(x_0)=0$), perché dovresti sotituire semplicemente $x_0$.
Il modo corretto di trovare l'equazione di una retta tangente ad una curva $f(x)$ e passante per un punto esterno di coordinate $P=(x_0,y_0)$, è a partire dal fascio di rette centrato in $P$, fissando il coefficiente angolare in modo tale che la retta sia tangente alla curva.
In particolare nota che la tua $f(x)$ passa per (0,0).
Per l'equazione cartesiana, in quel modo non trovi la retta passante per un punto a tua scelta esterno alla curva, ma trovi la retta tangente ad un punto di ascissa $x_0$ e ordinata $f(x_0)=y_0$. Inoltre la sostituzione da te operata non è corretta (non devi sostituire la $y$, e $f(x_0)=0$), perché dovresti sotituire semplicemente $x_0$.
Il modo corretto di trovare l'equazione di una retta tangente ad una curva $f(x)$ e passante per un punto esterno di coordinate $P=(x_0,y_0)$, è a partire dal fascio di rette centrato in $P$, fissando il coefficiente angolare in modo tale che la retta sia tangente alla curva.
scusami, ma questa y= Df(x0) (x- x0) + f (x0) non è l' equazione del fascio di rette con coeficiente angolare uguale alla derivata della funzione?! e poi non sostituisco la y e f ( $x_0$ ) ma la y e la x , cosi da trovare la $x_0$ , ossia l'ascissa del punto di tangenza al grafico.
con altri esercizi ho sempre fatto in questo modo e il risultato torna.
il mio problema in questo caso sussiste con l'arctg.per il primo punto
e per il secondo non so come trovare i valori di k per cui le rette tangenti sono tre.
non so, forse ho sbagliato proprio tutto...
con altri esercizi ho sempre fatto in questo modo e il risultato torna.
il mio problema in questo caso sussiste con l'arctg.per il primo punto
e per il secondo non so come trovare i valori di k per cui le rette tangenti sono tre.
non so, forse ho sbagliato proprio tutto...
No, quella è l'equazione della retta tangente al punto $x_0$. $x$ e $y$ sono variabili, e devono comparire entrambe nell'equazione generica di una retta (a meno che si imponga che il coefficiente angolare sia $0$ o $infty$); è $x_0$ ad essere un parametro, e $f'(x_0)$ è il coefficiente angolare della retta tangente ad $f$ nel punto $x_0$, ma questo $x_0$ deve essere noto a priori.
Nel tuo caso, constatando che $P:=(0,0)=(0,f(0))$ (ovvero $P$ è contenuto in $Im(f)$), puoi applicare la tua formula imponendo $x_0=0$, ottenendo così l'equazione richiesta: $y=f'(x_0)x=(x_0^2-2x_0+1)/(x_0^2-x_0+1)x=1x$
Più in generale, l'equazione di una retta passante per un punto $P=(x_0,y_0)$ è $y-y_0=m(x-x_0)$, dove $m$ è un coefficiente angolare generico. Per trovare quello "giusto", è sufficiente mettere a sistema la retta con l'equazione della funzione per cui si vuole la tangenza, e imporre che l'intersezione sia costituita da un solo punto ($Delta = 0$).
Nel tuo caso, constatando che $P:=(0,0)=(0,f(0))$ (ovvero $P$ è contenuto in $Im(f)$), puoi applicare la tua formula imponendo $x_0=0$, ottenendo così l'equazione richiesta: $y=f'(x_0)x=(x_0^2-2x_0+1)/(x_0^2-x_0+1)x=1x$
Più in generale, l'equazione di una retta passante per un punto $P=(x_0,y_0)$ è $y-y_0=m(x-x_0)$, dove $m$ è un coefficiente angolare generico. Per trovare quello "giusto", è sufficiente mettere a sistema la retta con l'equazione della funzione per cui si vuole la tangenza, e imporre che l'intersezione sia costituita da un solo punto ($Delta = 0$).
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