Tangente uguale all'angolo

[Ruben Campos]

Buona sera, sarei interessato a vedere la dimostrazione del fatto che, per angoli molto piccoli, la tangente corrisponde all'angolo.Inoltre vorrei sapere perché ciò vale solo con angoli espressi in radianti e non in gradi. Grazie.

[gugo82]

"Ruben Campos":Buona sera, sarei interessato a vedere la dimostrazione del fatto che, per angoli molto piccoli, la tangente corrisponde all'angolo.

Beh, questa cosa non è propriamente vera scritta così...

Un modo migliore di dirla è che per \(x\approx 0\) si ha \(\tan x = x+\text{o}(x)\), in cui \(\text{o}(x)\) è un infinitesimo in \(0\) d'ordine superiore rispetto a \(x\). Questa uguaglianza segue dal teorema del differenziale o dal limite notevole:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x}=1\; ,
\]
e significa che per valori prossimi a \(0\) è lecito sostituire \(x\) a \(\tan x\).

D'altra parte, una semplice applicazione di Calcolo Differenziale ed Integrale mostra che \(\tan x >x\) [risp. \(\tan x \[
(\tan x)^\prime = \frac{1}{\cos^2 x} \geq 1 = (x)^\prime \qquad \text{per } -\pi2 \]
quindi:
\[
\begin{split}
\tan x &=\int_0^x \frac{1}{\cos^2 t}\ \text{d} t > \int_0^x 1\ \text{d} t = x\qquad \text{per } 0 -\tan x &=\int_x^0 \frac{1}{\cos^2 t}\ \text{d} t > \int_x^0 1\ \text{d} t = -x\qquad \text{per } -\pi/2 \end{split}
\]

"Ruben Campos":Inoltre vorrei sapere perché ciò vale solo con angoli espressi in radianti e non in gradi. Grazie.

Le funzioni trigonometriche accettano come argomenti i radianti e stop. Il resto è "semplificazione" notazionale da scuola superiore.

Se proprio vuoi tirare in ballo di nuovo i gradi, devi farlo attraverso un fattore di scala: tenendo presente che una misura \(\alpha\) in gradi equivale ad una misura \(x\) in radianti mediante la relazione:
\[
x=\frac{\pi}{180}\ \alpha\; ,
\]
la "tangente goniometrica di \(\alpha\)" (chiamiamola \(\operatorname{Tan} \alpha\)) va espressa mediante una funzione composta, cioé \(\operatorname{Tan}\alpha = \tan \left( \frac{\pi}{180}\ \alpha\right)\); derivando rispetto ad \(\alpha\) ed usando il teorema del differenziale, trovi:
\[
\operatorname{Tan} \alpha = \frac{\pi}{180}\ \alpha + \text{o}(\alpha)\; ,
\]
quando \(\alpha \approx 0\).
Quindi come vedi puoi anche usare i gradi... Però questo complica l'approssimazione della tangente, perché salta fuori il fattore di scala \(\frac{\pi}{180}\).

[Antoine2]

Anch'io dovevo veder questo e la risposta è di una semplicità abissale!! Una volta che si guarda il problema si capisce tutto basta guardare il diagramma di variazione della tangente con l'angolo nella parte vicina allo zero è lineare è approssimabile a una retta a 45° nel primo quadrante quindi x = y !!!

[dissonance]

Esatto. È questo il concetto di O-piccolo che invece sembra così difficile.