Tangente alla curva....
CIAO
oggi mio fratello (quinto superiore) mi ha posto un quesito che li per li pensavo fosse di facile risolzione per me che faccio esercizi dell'università (e in genere è cosi) ma mi sbagliavo...
c'è qualcosa che mi sfugge oppure sbaglio proprio il ragionamento e siccome voglio togliermi proprio il dubbio (del resto puo servire anche a me) ve lo posto:
"nell'equazione $y=x^3+bx^2+cx$ si determino valori di $b$ e $c$ in modo che lacurva passi per P(2,3) e chela tangente alla curva in tale punto P abbia coefficiente angolare $1$." RISULTATI: $b=-(17)/4$ ; $c=6$
(non ha studiato ancora la derivata prima)
dunque il ragionamento che facevo io è: la retta tangente alla curva deve avere equazione $y-y_0 = m(x-x_0)$ dove $y_0$ e $x_0$ sono rispettivamente le cordinate del punto P e $m=1$
per cui la retta tangente avrà equazione $y=x+1$..ora siccome ci sono le incognite $b$ e $c$ ho pensato che il modo per porre al sistema le due equazioni fosse quello di ricavarmi dalla forma implicita della retta $ax+by+c=0$ la forma $y=-a/bx-c/b$ da cui stando alla mia equazione $-c/b$ dovrebbe essere 1 ma non puo essere cosi perche se cosi fosse allora $b=-c$ cosa che dai risultati e da una verifica di valori non è....
per cui quale è il ragionamento....per favore aiutatemi!!!
ciao grazie
oggi mio fratello (quinto superiore) mi ha posto un quesito che li per li pensavo fosse di facile risolzione per me che faccio esercizi dell'università (e in genere è cosi) ma mi sbagliavo...
c'è qualcosa che mi sfugge oppure sbaglio proprio il ragionamento e siccome voglio togliermi proprio il dubbio (del resto puo servire anche a me) ve lo posto:
"nell'equazione $y=x^3+bx^2+cx$ si determino valori di $b$ e $c$ in modo che lacurva passi per P(2,3) e chela tangente alla curva in tale punto P abbia coefficiente angolare $1$." RISULTATI: $b=-(17)/4$ ; $c=6$
(non ha studiato ancora la derivata prima)
dunque il ragionamento che facevo io è: la retta tangente alla curva deve avere equazione $y-y_0 = m(x-x_0)$ dove $y_0$ e $x_0$ sono rispettivamente le cordinate del punto P e $m=1$
per cui la retta tangente avrà equazione $y=x+1$..ora siccome ci sono le incognite $b$ e $c$ ho pensato che il modo per porre al sistema le due equazioni fosse quello di ricavarmi dalla forma implicita della retta $ax+by+c=0$ la forma $y=-a/bx-c/b$ da cui stando alla mia equazione $-c/b$ dovrebbe essere 1 ma non puo essere cosi perche se cosi fosse allora $b=-c$ cosa che dai risultati e da una verifica di valori non è....
per cui quale è il ragionamento....per favore aiutatemi!!!
ciao grazie
Risposte
già dal passaggio per il punto P si ricava $4b+2c=-5$.
inoltre se la retta che tu hai trovato deve essere tangente, la soluzione del sistema tra retta e la curva deve avere soluzione almeno doppia nel punto di tangenza, per cui l'equazione $x^3+bx^2+cx=x+1$ deve avere soluzione $x=2$ con almeno molteplicità due.
dividendo con Ruffini $x^3+bx^2+(c-1)x-1$ per $x-2$ due volte si ha, ponendo per due volte il resto uguale a zero, la prima volta lo stesso risultato ottenuto in precedenza $4b+2c+5=0$, mentre la seconda volta $4b+c+11=0$, per cui $c=6$ e $b=-17/4$.
spero sia chiaro. ciao.
inoltre se la retta che tu hai trovato deve essere tangente, la soluzione del sistema tra retta e la curva deve avere soluzione almeno doppia nel punto di tangenza, per cui l'equazione $x^3+bx^2+cx=x+1$ deve avere soluzione $x=2$ con almeno molteplicità due.
dividendo con Ruffini $x^3+bx^2+(c-1)x-1$ per $x-2$ due volte si ha, ponendo per due volte il resto uguale a zero, la prima volta lo stesso risultato ottenuto in precedenza $4b+2c+5=0$, mentre la seconda volta $4b+c+11=0$, per cui $c=6$ e $b=-17/4$.
spero sia chiaro. ciao.
ehm.......non ho capito molto, ma non per colpa tua...per colpa mia
quale sarebbe il sistema che devo impostare???
quale sarebbe il sistema che devo impostare???
Secondo me sarebbe più bello scrivere il discriminante dell'equazione risolvente il sistema (retta tangente)-(equazione funzione) e risolvere
$\Delta=0$ da cui ricavi le icognite.
E' sicuramente ricco di calcoli ma elegante!
$\Delta=0$ da cui ricavi le icognite.
E' sicuramente ricco di calcoli ma elegante!
il primo, quello che poi si ritroverà anche in altro modo, si ha facilmente con il "passaggio della curva per P(2,3)": da $y=x^3+bx^2+cx$, con x=2 e y=3, si ha: $3=8+4b+2c$.
poi, dal sistema con retta e curva, entrambe in forma esplicita rispetto ad y, lavoro solo con l'equazione ottenuta uguagliando i secondi membri (metodo del confronto, o sostituzione): $x^3+bx^2+cx=x+1$ viene da y=primo membro (curva) e y=secondo membro (retta trovata da te, che è corretta).
portando tutto a primo membro e raccogliendo la x tra cx e -x, si ottiene l'equazione $x^3+bx^2+(c-1)x-1=0$ che deve avere soluzione $x=2$ almeno doppia perché P(2,3) è il punto di tangenza tra la curva e la retta che ho messo a sistema.
lo schema di Ruffini non so se sarei in grado di riprodurlo qui, ma dovresti saperlo fare.
fammi sapere che cosa non è chiaro. ciao.
poi, dal sistema con retta e curva, entrambe in forma esplicita rispetto ad y, lavoro solo con l'equazione ottenuta uguagliando i secondi membri (metodo del confronto, o sostituzione): $x^3+bx^2+cx=x+1$ viene da y=primo membro (curva) e y=secondo membro (retta trovata da te, che è corretta).
portando tutto a primo membro e raccogliendo la x tra cx e -x, si ottiene l'equazione $x^3+bx^2+(c-1)x-1=0$ che deve avere soluzione $x=2$ almeno doppia perché P(2,3) è il punto di tangenza tra la curva e la retta che ho messo a sistema.
lo schema di Ruffini non so se sarei in grado di riprodurlo qui, ma dovresti saperlo fare.
fammi sapere che cosa non è chiaro. ciao.
"adaBTTLS":
il primo, quello che poi si ritroverà anche in altro modo, si ha facilmente con il "passaggio della curva per P(2,3)": da $y=x^3+bx^2+cx$, con x=2 e y=3, si ha: $3=8+4b+2c$.
poi, dal sistema con retta e curva, entrambe in forma esplicita rispetto ad y, lavoro solo con l'equazione ottenuta uguagliando i secondi membri (metodo del confronto, o sostituzione): $x^3+bx^2+cx=x+1$ viene da y=primo membro (curva) e y=secondo membro (retta trovata da te, che è corretta).
portando tutto a primo membro e raccogliendo la x tra cx e -x, si ottiene l'equazione $x^3+bx^2+(c-1)x-1=0$ che deve avere soluzione $x=2$ almeno doppia perché P(2,3) è il punto di tangenza tra la curva e la retta che ho messo a sistema.
lo schema di Ruffini non so se sarei in grado di riprodurlo qui, ma dovresti saperlo fare.
fammi sapere che cosa non è chiaro. ciao.
si scusa l'equazione $4b+2c=-5$ sapevo da dov usciva fuori, e che mi si sta fondendo il cervello e non connetto tanto..lapsus...per quanto riguarda i passaggi che hai fatto tu, sono gli stessi che avevo provato io ma per quanto riguarda Ruffini come tratto $b$ e $c$ come normali coefficienti?? cioè moltiplico e addiziono nello schema nomalmente??? come se dovessi fare una scomposizione??
come faccio a scegliere il valore nello schema di ruffini che da resto 0??? è x=2 dal punto??
se non riesco a capire questo esercizio non mi realizzo...adesso è diventata una cosa personale!!!
se non riesco a capire questo esercizio non mi realizzo...adesso è diventata una cosa personale!!!
sì, i coefficienti da scrivere nella prima riga sono $1$, $b$, $c-1$, e $-1$ come termine noto. $2$ come numero "da sostituire alla x".
come primo quoziente dovresti ottenere $x^2+(b+2)x+(2b+c+3)$, il resto l'abbiamo detto (ma si pone = 0), e ripetendo la divisione con lo stesso schema dovresti ottenere come secondo quoziente $x+(b+4)$ e resto, appunto, $4b+c+11$ da porre uguale a zero.
come primo quoziente dovresti ottenere $x^2+(b+2)x+(2b+c+3)$, il resto l'abbiamo detto (ma si pone = 0), e ripetendo la divisione con lo stesso schema dovresti ottenere come secondo quoziente $x+(b+4)$ e resto, appunto, $4b+c+11$ da porre uguale a zero.
"mikelozzo":
"nell'equazione $y=x^3+bx^2+cx$ si determino valori di $b$ e $c$ in modo che lacurva passi per P(2,3) e chela tangente alla curva in tale punto P abbia coefficiente angolare $1$." RISULTATI: $b=-(17)/4$ ; $c=6$
La cubica può essere scritta in questa forma:
$y = (x-2)^3 + k_1 (x-2)^2 + k_2 (x-2) + 3$
provare per credere: sostituendo $x=2$ si ottiene proprio $3$.
Poiché vogliamo che la tangente nel punto $x=2$ abbia pendenza uguale a 1,
deve essere necessariamente $k_2=1$.
A questo punto basta imporre il passaggio della cubica dall'origine, determinando
così $k_1$:
$(0 - 2)^3 + k_1 (0 - 2)^2 + 1 (0 - 2) + 3 = 0$
$-8 + 4 k_1 - 2 + 3 = 0$
$k_1 = 7/4$
quindi abbiamo:
$y = (x - 2)^3 + 7/4 (x - 2)^2 + (x-2)+3$
a questo punto posso anche finire qui (ho determinato in pratica la cubica
a meno di una traslazione);
Comunque, se voglio sviluppare trovo
$x^3 - 17/4 x^2 + 6 x$
che coincide con i vostri risultati.
Vi piace la mia soluzione?
io ho capito entrambi i ragionamenti ( anche se a dire il vero quello di Ada mi sembra piu intuitivo - non è un caso che coincide con quello che avevo provato io )
tuttavia vorrei capire solo un ultima cosa: i resti degli schemi di ruffini (che poi si metteranno a sistema e che daranno i risultati) si pongono uguali a 0 perchè come regola generale il resto in Ruffini dovrebbe essere 0 e quindi siccome a noi non lo è lo poniamo, o per qualche altro motivo??
grazie, cmq apparte questa cosa l'esercizio l'ho capito...grazie grazie!!!
tuttavia vorrei capire solo un ultima cosa: i resti degli schemi di ruffini (che poi si metteranno a sistema e che daranno i risultati) si pongono uguali a 0 perchè come regola generale il resto in Ruffini dovrebbe essere 0 e quindi siccome a noi non lo è lo poniamo, o per qualche altro motivo??
grazie, cmq apparte questa cosa l'esercizio l'ho capito...grazie grazie!!!
con Ruffini fai la divisione per (x-2).
se x=2 è soluzione vuol dire che ponendo x=2 nell'equazione l'uguaglianza deve essere verificata.
se l'equazione è scritta come P(x)=0, significa che se x=2 è soluzione deve risultare P(2)=0, ed il teorema del resto dice che P(2) è uguale al resto della divisione tra P(x) e il binomio (x-2).
inoltre, il punto di ascissa x=2 è punto di tangenza, quindi P(x) è divisibile per $(x-2)^2$.
se è "divisibile", significa che il resto della divisione è 0.
spero di aver chiarito. ciao.
se x=2 è soluzione vuol dire che ponendo x=2 nell'equazione l'uguaglianza deve essere verificata.
se l'equazione è scritta come P(x)=0, significa che se x=2 è soluzione deve risultare P(2)=0, ed il teorema del resto dice che P(2) è uguale al resto della divisione tra P(x) e il binomio (x-2).
inoltre, il punto di ascissa x=2 è punto di tangenza, quindi P(x) è divisibile per $(x-2)^2$.
se è "divisibile", significa che il resto della divisione è 0.
spero di aver chiarito. ciao.
"mikelozzo":
io ho capito entrambi i ragionamenti ( anche se a dire il vero quello di Ada mi sembra piu intuitivo - non è un caso che coincide con quello che avevo provato io )
Il fatto è che non si ragiona troppo in termini di traslazioni.
Quando si ha una curva è bene chiedersi se con una traslazione
è possibile semplificare le cose..
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