Tangente ad una curva (analisi 2)

[ludwigZero]

L'esercizio (preso da una lezione) dice cosi:
Determinare i punti sulla curva $x^4 + y^4 - 3x y^2 =0$ in cui la tangente è parallela all'asse $x$

per svolgerlo invoca un teorema (credo) di cui però non da il nome....cioè:
$f(x,y)$ di $C^1(A)$ , con $A$ aperto di $RR^2$
esiste $(x_0, y_0)$ appartenente ad $A$: $f(x_0,y_0) =0$, $f(x_0,y_0)\=0$ => esiste $\delta, \sigma > 0$ ed esiste ed è unico una funzione $g: [x_0 - \delta, x_0 + \delta] -> [y_0 - \sigma, y_0 + \sigma]$: $y(x_0) = y_0$ $f(x, g(x))=0$ per ogni $x$ appartenente a $[x_0 - \delta, x_0 + \delta]$ , $g$ funzione di classe $C^1(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$

(già qui ho capito a sprazzi....)

infine:

$g'(x) = - (f_x (x,g(x)))/(f_y (x, g(x)))$

quindi le condizioni a sistema per trovare i punti sono:
$f(x,y)=0$
$f_x (x_0,g(x_0)) = 0$
$f_y$ diverso da $0$

e da tale sistema trovo i punti richiesti.

io non capisco se tali condizioni possano essere generalizzabili solo per questo caso ( tangente è parallela all'asse $x$) o bisogna cambiare votla per volta le condizioni?
TIPO:
se fosse stato: ''tangente è parallela all'asse $y$'' forse era $f_y =0$ e $f_x$ diverso da $0$?


(scusate per la poca accuratezza nei simboli, il 'diverso da' stasera non vuole proprio funzionare )

[ludwigZero]

up

[Raptorista1]

Devi assolutamente scrivere meglio le formule e separare di più il testo, perché così e difficile da leggere. Il simbolo di diverso si fa con \ne .

Comunque, il teorema che riporti è il teorema di Dini della funzione implicita, ed è abbastanza famoso!

[ludwigZero]

Toppato di brutto, era messo dopo le eq differnziali (nel quaderno degli appunti) e non ricordavo minimamente che è il teorema del dini (devo ancora studiarlo) ripropongo il problema tra qualche giorno
grazie della visione raptorista