Tabella riassuntiva: tutti gli sviluppi di taylor

26 nov 2005, 12:20

Ogni buon e sottolineo buon libro di analisi1 dovrebbe avere una tabella riassuntiva con gli sviluppi di taylor!!
prova a consultare i volumi della collana Schaum's, trovi tutte le formule e gli sviluppi che vuoi!!

ciaoooo

Camillo

26 nov 2005, 12:54

Ecco un sommario dei più importanti sviluppi di Taylor .

http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... limiti.htm

Camillo

Bandit1

27 nov 2005, 15:26

si come quelladi camillo, grazie

Sk_Anonymous

29 nov 2005, 15:54

cari amici
dal momento che stiamo parlando di sviluppi in serie di Taylor vorrei segnalare una specie di ‘anomalia’ presente nella maggior parte dei ‘manuali’. Una funzione della massima importanza dal punto di vista applicativo è la funzione sinc(x), definita come…

$sinc(x)=sin x/x$ (1)

Chiaramente di tratta di una funzione continua insieme con le sue derivate di tutti gli ordini per ogni valore della x e quindi non si capisce perché non dovrebbe ammettere uno sviluppo in serie. La via più semplice per ottenere tale sviluppo è partire dal noto sviluppo della funzione sin x che vale…

$sin x = sum _(n=0)^(oo) (-1)^n x^(2n+1)/((2n+1)!)$

= $x/(1!) – x^3/(3!) + x^5/(5!) – x^7/(7!) + …$ (1)

Dividendo banalmente ciascun termine della (1) per x si ottiene…

$sin x/x= sum_(n=0)^(oo) (-1)^n x^(2n)/((2n+1)!)$

= $ 1 – x^2/(3!) + x^4/(5!) – x^6/(7!) +… $ (2)

Ebbene, per motivi assolutamente sconosciuti [almeno per me…], tale sviluppo non si trova in alcun manuale di matematica da me consultato in tanti anni. Il bello, se vogliamo definirlo così, è che per quanto riguarda la funzione ‘integralseno’, definita come…

$Si(x)= int _0^x sin u/u du$ (3)

… tutti questi manuali riportano il seguente sviluppo in serie…

$Si(x)=sum_(n=0)^(oo) (-1)^n x^(2n+1)/((2n+1)(2n+1)!)$

= $ x/(1!) – 1/3 x^3/(3!) + 1/5 x^5/(5!) – 1/7 x^7/(7!) +…$ (4)

E’ del tutto evidente che se uno calcola la derivata della funzione integralseno, applicando il teorema di derivazione per serie alla (4) ottiene la (2). Eppure lo sviluppo (4) gode di ‘regolare cittadinanza’, mentre lo sviluppo (2), a quanto pare, è ‘extracomunitario irregolare’… mistero…

carlo232

29 nov 2005, 18:07

"lupo grigio":
cari amici
dal momento che stiamo parlando di sviluppi in serie di Taylor vorrei segnalare una specie di ‘anomalia’ presente nella maggior parte dei ‘manuali’. Una funzione della massima importanza dal punto di vista applicativo è la funzione sinc(x), definita come…

$sinc(x)=sin x/x$ (1)

Chiaramente di tratta di una funzione continua insieme con le sue derivate di tutti gli ordini per ogni valore della x e quindi non si capisce perché non dovrebbe ammettere uno sviluppo in serie. La via più semplice per ottenere tale sviluppo è partire dal noto sviluppo della funzione sin x che vale…

$sin x = sum _(n=0)^(oo) (-1)^n x^(2n+1)/((2n+1)!)$

= $x/(1!) – x^3/(3!) + x^5/(5!) – x^7/(7!) + …$ (1)

Dividendo banalmente ciascun termine della (1) per x si ottiene…

$sin x/x= sum_(n=0)^(oo) (-1)^n x^(2n)/((2n+1)!)$

= $ 1 – x^2/(3!) + x^4/(5!) – x^6/(7!) +… $ (2)

Ebbene, per motivi assolutamente sconosciuti [almeno per me…], tale sviluppo non si trova in alcun manuale di matematica da me consultato in tanti anni. Il bello, se vogliamo definirlo così, è che per quanto riguarda la funzione ‘integralseno’, definita come…

$Si(x)= int _0^x sin u/u du$ (3)

… tutti questi manuali riportano il seguente sviluppo in serie…

$Si(x)=sum_(n=0)^(oo) (-1)^n x^(2n+1)/((2n+1)(2n+1)!)$

= $ x/(1!) – 1/3 x^3/(3!) + 1/5 x^5/(5!) – 1/7 x^7/(7!) +…$ (4)

E’ del tutto evidente che se uno calcola la derivata della funzione integralseno, applicando il teorema di derivazione per serie alla (4) ottiene la (2). Eppure lo sviluppo (4) gode di ‘regolare cittadinanza’, mentre lo sviluppo (2), a quanto pare, è ‘extracomunitario irregolare’… mistero…

è una cosa che mi sono chiesto spesso anche io, credo che abbia a che vedere con il fatto che $sinc(0)=0/0$ cioè e una forma indeterminata mentre dal suo sviluppo in serie di Taylor si otterrebbe sinc(0)=1

infinito1

29 nov 2005, 18:31

"carlo23":
... è una cosa che mi sono chiesto spesso anche io, credo che abbia a che vedere con il fatto che $sinc(0)=0/0$ cioè e una forma indeterminata mentre dal suo sviluppo in serie di Taylor si otterrebbe sinc(0)=1

Scusa carlo, ma sebbene "condivida il concetto", non mi piace per nulla l'espressione 0/0 che, ricordo, non ha alcun significato nell'insieme dei numeri (reali).

Il fatto è che la funzione sinc(x) (non sapevo che si chiamava così) o non è definita in 0, oppure, semplicemente, vi vale 1, cioè: «sinc(x) vale, per x diverso da 0, "sen(x)/x", e, per x=0, "1"», per cui non c'è nessun problema teorico né a trovare una definizione che fa uso di una sola espressione analitica invece di quella che ne usa due, né una espressione che estende una funziona definita in un insieme A ad un soprainsieme B di A.