Svolgimento studio di funzione in due variabili

[mikelozzo]

salve a tutti,
vorrei proporvi un quesito che non sono riuscito a capire a pieno. Si tratta del seguente studio di funzione a due variabili:

$f(x,y)= log(1+x^2y^2)$

considerando che l'esercizio consiste nel trovare eventuali punti critici all'interno della funzione, ed essendo un esercizio già svolto, vorrei capire perchè l'esercizio propone il seguente svolgimento: considerare solo la $g=(1+x^2y^2)$ piuttosto che l'intera funzione $f(x,y)= log(1+x^2y^2)$

l'esercizio dice:

Essendo la funzione logaritmo una funzione strettamente crescente sul suo dominio posso ridurmi a
studiare la funzione $g=(1+x^2y^2)$

stando a questo ragionamento il risultato dovrebbe essere uguale allo svolgimento dell'intera funzione?? o sbaglio??
dico ciò perchè, ad esempio, calcolando la derivata parziale seconda dxdx rispetto a tutta la funzione il risultato finale è differente rispetto a quella calcolata considerando solo la g. Infatti l'esercizio svolto continua affermando che la derivata seconda parziale dxdx è uguale a $2y^2$, mentre considerando la funzione totale a me esce:
$[2y^2(1+x^2y^2)-(2xy^2)(2xy^2)]/(1+x^2y^2)^2$ che sviluppato mi da un risultato diverso. Dove sbaglio?

grazie in anticipo per le risposte

[matematico91]

scrivi la derivate generica del logaritmo (anche in una variabile e capirai il perchè)
nota bene: l'argomento del logaritmo è sempre positivo

[mikelozzo]

no..detto sinceramente non riesco a cogliere il suggerimento...
ok che l'argomento del logaritmo è sempre positivo, ma cosa mi dice?

[matematico91]

se sei riuscito a cogliere "un pezzo" del suggerimento puoi arrivare anche al resto tranquillamente, ti ho già detto prova a scrivere la derivata del logaritmo ti accorgerai che sarà il prodotto di una funzione sempre positiva per un'altra(in questo caso la derivata della tua g) quindi se hai frequentato un corso di analisi 1 puoi dire (dopo le considerazioni opportute(fatte sopra)) che la funzione si annula solo per i valori di $g'$

[ciampax]

Mikelozzo, la spiegazione è questa (considero il caso in una variabile ma esso vale anche per più variabili): se consideri la funzione [tex]$f(x)=\log[g(x)]$[/tex] la sua derivata risulta [tex]$f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}$[/tex]. Ora, al fine di determinare la monotonia della [tex]$f(x)$[/tex] basta considerare il comportamento della [tex]$g(x)$[/tex] su [tex]$D=\mathrm{Dom}(f)=\{x\ :\ g(x)>0\}$[/tex]. Infatti, risolvere [tex]$f'(x)\gee 0$[/tex] equivale a risolvere [tex]$g'(x)\ge 0$[/tex] (dal momento che il denominatore è sempre positivo).