Svolgimento studio di Cauchy
Ciao a tutti!
Ho dei problemi con lo svolgimento del seguente problema di Cauchy (studio qualitativo della funzione).
Testo:
$ { ( y'=(y-6)e^y ),( y(0)=y_0 ):} $
Si determini, al variare di $y_0 in R$, se:
1) il problema ammette esistenza ed unicità locale e globale.
2) Si determinino le eventuali soluzioni stazionarie.
3) Si studino al variare di $y_0 in R$, la monotonia, asintoti, concavità e flessi delle soluzioni.
4) L'intervallo massimale è illimitato a destra e/o a sinistra per qualche valore di $y_0$?
Soluzione:
1) Vado a verificare l'esistenza locale e trovo che il dominio della funzione è uguale al dominio della derivata.. quindi $D=D'$. L'unicità locale è verificata.. ma come faccio a verificare l'esistenza globale? so che devo verificare l'apposito teorema: $|f(t,y)<=k_1+k_2|y|$ però non riesco a capire come metterlo in pratica!
2) Per determinare le soluzioni stazionarie pongo la mia funzione uguale a $0$. Ho una soluzione stazionaria $y=6$ in quanto $e^y=0$ è sempre $>0$. Pongo ora la soluzione $>0$ e trovo che per $y<6$ la soluzione è decrescente, per $y>6$ la soluzione è crescente.
3) Per studiare ora la monotonia non ho capito bene come devo procedere. Per prima cosa mi calcolo la derivata della funzione rispetto $t$ e quindi ottengo:
$y'(t)=e^y+(y-6)e^y$ ora devo solo studiare la funzione quindi rifare la derivata per verificare la monotonia.. trovare i limiti e poi fare la derivata seconda per i flessi. E' corretto come procedimento?
4) Qui non sono riuscito a trovare nessun teorema da applicare.. avete qualche suggerimento?
Grazie
Buona serata
Ciao
Ho dei problemi con lo svolgimento del seguente problema di Cauchy (studio qualitativo della funzione).
Testo:
$ { ( y'=(y-6)e^y ),( y(0)=y_0 ):} $
Si determini, al variare di $y_0 in R$, se:
1) il problema ammette esistenza ed unicità locale e globale.
2) Si determinino le eventuali soluzioni stazionarie.
3) Si studino al variare di $y_0 in R$, la monotonia, asintoti, concavità e flessi delle soluzioni.
4) L'intervallo massimale è illimitato a destra e/o a sinistra per qualche valore di $y_0$?
Soluzione:
1) Vado a verificare l'esistenza locale e trovo che il dominio della funzione è uguale al dominio della derivata.. quindi $D=D'$. L'unicità locale è verificata.. ma come faccio a verificare l'esistenza globale? so che devo verificare l'apposito teorema: $|f(t,y)<=k_1+k_2|y|$ però non riesco a capire come metterlo in pratica!
2) Per determinare le soluzioni stazionarie pongo la mia funzione uguale a $0$. Ho una soluzione stazionaria $y=6$ in quanto $e^y=0$ è sempre $>0$. Pongo ora la soluzione $>0$ e trovo che per $y<6$ la soluzione è decrescente, per $y>6$ la soluzione è crescente.
3) Per studiare ora la monotonia non ho capito bene come devo procedere. Per prima cosa mi calcolo la derivata della funzione rispetto $t$ e quindi ottengo:
$y'(t)=e^y+(y-6)e^y$ ora devo solo studiare la funzione quindi rifare la derivata per verificare la monotonia.. trovare i limiti e poi fare la derivata seconda per i flessi. E' corretto come procedimento?
4) Qui non sono riuscito a trovare nessun teorema da applicare.. avete qualche suggerimento?
Grazie
Buona serata
Ciao
Risposte
Ciao a tutti!
Dopo aver guardato diversi esercizi svolti sono riuscito a svolgere l'esercizio.. però alcune parti non tornano. Ecco la mia soluzione:
1) Unicità locale: la mia funzione ha come dominio R, quindi calcolo la derivata ed ottengo: $y'=e^y+(y-6)e^y$. Anche il dominio della derivata è tutto R, quindi posso dire che le condizioni del teorema di unicità sono soddisfatte.
2) Unicità globale: verifico che la mia funzione sia sublineare. In questo caso avendo una $e^y$ vedo subito che non può esserlo, quindi le ipotesi del teorema non sono soddisfatte. No unicità globale.
3) Soluzioni stazionarie: pongo la mia funzione uguale a zero. Vedo quindi che $y=6$ è una soluzione stazionaria. Studio la monotonia ponendola $>0$ e concludo che per $y>6$ la soluzione è crescente, per $y<6$ la soluzione è decrescente.
Da questo punto qua in poi ho qualche problema nello svolgere l'esercizio, la mia soluzione non combacia con il risultato vero.
4) Concavità: Derivo la mia funzione rispetto a $t$ e quindi ottengo:
$y'(t)=(y'(t)e^(y(t))+(y(t)-6)e^(y(t))y'(t))$ da cui:
$y'(t)=e^(y(t))y'(t)[1+y(t)-6]$ quindi:
$y'(t)=e^(y(t))(y(t)-6)(y(t)-5)$
Adesso pongo questa ultima funzione $>0$ in modo da studiare la concavità. Ottengo quindi che per $y>6$ è concava, mentre per $5
La soluzione originale invece è diversa.. perchè dice: "per $y_0>6$ la soluzione $u$ è convessa, per $y<6$ esiste un punto $t_0$ (di flesso) con $u(t)=5$ e $u$ convessa, per $t>t_0$ e concava altrimenti."
Mi sapete dire dov'è l'errore?
Grazie
Ciao
Dopo aver guardato diversi esercizi svolti sono riuscito a svolgere l'esercizio.. però alcune parti non tornano. Ecco la mia soluzione:
1) Unicità locale: la mia funzione ha come dominio R, quindi calcolo la derivata ed ottengo: $y'=e^y+(y-6)e^y$. Anche il dominio della derivata è tutto R, quindi posso dire che le condizioni del teorema di unicità sono soddisfatte.
2) Unicità globale: verifico che la mia funzione sia sublineare. In questo caso avendo una $e^y$ vedo subito che non può esserlo, quindi le ipotesi del teorema non sono soddisfatte. No unicità globale.
3) Soluzioni stazionarie: pongo la mia funzione uguale a zero. Vedo quindi che $y=6$ è una soluzione stazionaria. Studio la monotonia ponendola $>0$ e concludo che per $y>6$ la soluzione è crescente, per $y<6$ la soluzione è decrescente.
Da questo punto qua in poi ho qualche problema nello svolgere l'esercizio, la mia soluzione non combacia con il risultato vero.
4) Concavità: Derivo la mia funzione rispetto a $t$ e quindi ottengo:
$y'(t)=(y'(t)e^(y(t))+(y(t)-6)e^(y(t))y'(t))$ da cui:
$y'(t)=e^(y(t))y'(t)[1+y(t)-6]$ quindi:
$y'(t)=e^(y(t))(y(t)-6)(y(t)-5)$
Adesso pongo questa ultima funzione $>0$ in modo da studiare la concavità. Ottengo quindi che per $y>6$ è concava, mentre per $5
La soluzione originale invece è diversa.. perchè dice: "per $y_0>6$ la soluzione $u$ è convessa, per $y<6$ esiste un punto $t_0$ (di flesso) con $u(t)=5$ e $u$ convessa, per $t>t_0$ e concava altrimenti."
Mi sapete dire dov'è l'errore?
Grazie
Ciao
Il secondo membro della EDO, i.e. \(f(x,y):=e^y(y-6)\), è una funzione \(C^\infty (\mathbb{R}^2)\), ergo localmente lipschitziana (uniformemente rispetto a \(x\)); pertanto sei nelle ipotesi di unicità localee ciò ti assicura che esiste un'unica soluzione massimale del PdC con condizione iniziale \(y(0)=y_0\) per ogni \(y_0\in \mathbb{R}\).
Inoltre, l'infinita regolarità del secondo membro ti dice che ogni soluzione massimale del PdC è \(C^\infty\) nel proprio insieme di definizione.
La funzione \(y^*(x):=6\) è l'unica soluzione stazionaria della EDO; ergo, data l'unicità locale, il grafico ogni altra soluzione massimale del PdC con \(y_0\neq 6\) non ha punti in comune col grafico della \(y^*\).
Conseguentemente, se \(y_0>6\) [risp. \(y_0<6\)], allora la soluzione massimale \(y(\cdot ;y_0)\) soddisfa \(y(x;y_0)>6\) [risp \(<6\)] per ogni \(x\) nel suo insieme di definizione.
Hai evidentemente \(f(x,y)>0\) se e solo se \(y>6\); ergo hai \(y^\prime (\cdot ;y_0)>0\) [risp. \(<0\)] per ogni soluzione massimale \(y(\cdot ;y_0)\) che soddisfa \(y(x ;y_=0\>6\) [risp. \(<6\)] nel suo insieme di definizione, ossia per ogni soluzione massimale corrispondente a condizione iniziale \(y_0>6\) [risp. \(<6\)].
Conseguentemente, le soluzioni massimali corrispondenti a valori iniziali \(>6\) [risp. \(<6\)] sono strettamente crescenti [risp. strettamente decrescenti] nel loro insieme di definizione.
Chiamiano \(]X_-(y_0),X^+(y_0)[\) l'intervallo di definizione della soluzione massimale \(y(\cdot ;y_0)\) con \(y_0\neq 6\).
Evidentemente, per la monotonia provata sopra, esistono entrambi i limiti:
\[
\lim_{x\searrow X_-(y_0)} y(x;y_0)\qquad \text{e} \qquad \lim_{x\nearrow X^+(y_0)} y(x;y_0)
\]
e si ha:
\[
\lim_{x\searrow X_-(y_0)} y(x;y_0) =\begin{cases} \inf y(\cdot ;y_0) &\text{, se } y_0>6 \\ \sup y(\cdot ;y_0) &\text{, se } y_0<6\end{cases}\qquad \text{e} \qquad \lim_{x\nearrow X^+(y_0)} y(x;y_0)=\begin{cases} \sup y(\cdot ;y_0) &\text{, se } y_0>6 \\ \inf y(\cdot ;y_0) &\text{, se } y_0<6\end{cases}
\]
Dato che le soluzioni massimali sono limitate inferiormente [risp. superiormente] dal grafico della \(y^*\) per \(y_0>6\) [risp. \(y_0<6\)], allora il primo dei due limiti scritti sopra esiste sempre finito; detto \(l\) tale limite, per il teorema dell'asintoto \(l\) deve soddisfare la condizione:
\[
(l-6)e^l =0
\]
il che equivale a dire che \(l=6\). Conseguentemente non può essere \(X_-(y_0)>-\infty\), perché altrimenti la soluzione massimale \(y(\cdot ;y_0)\) potrebbe prolungarsi a sinistra di \(X_-(y_0)\) ed attraverserebbe il grafico della soluzione stazionaria, il che è assurdo; ne viene che in ogni caso \(X_- (y_0)=-\infty\), sicché le soluzioni massimali del PdC sono tute definite in intervalli del tipo \(]-\infty ,X^+(y_0)[\).
Analogamente, il secondo limite non può essere finito. Infatti se risultasse \(\lim_{x\nearrow X^+(y_0)} y(x;y_0) =L\in \mathbb{R}\), allora \(L\) dovrebbe soddisfare \((L-6)e^L=0\) per il teorema dell'asintoto e perciò dovrebbe essere \(L=6\); da ciò seguirebbe \(6\leq y(\cdot ;y_0)\leq 6\) ossia \(y(\cdot ;y_0)=y^*(\cdot)\) ovunque, il che è assurdo per \(y_0\neq 6\); pertanto:
\[
\lim_{x\nearrow X^+(y_0)} y(x;y_0) =\begin{cases} +\infty &\text{, se } y_0>6 \\ -\infty &\text{, se } y_0<6\; .\end{cases}
\]
Questo, però, non ci aiuta nello stabilire se \(X^+(y_0)<+\infty\) o se \(X^+(y_0)=+\infty\); perciò si deve procedere in altro modo...
Per quanto riguarda le caratteristiche delle soluzioni massimali, derivando m.a.m. la EDO si vede che:
\[
y^{\prime \prime} (x)= e^{y(x)}\ y^\prime(x)\ (y(x)-5) = e^{2y(x)}\ (y(x)-6)(y(x)-5)
\]
sicché le soluzioni massimali sono convesse [risp. concave] fintantoché esse assumono valori \(>6\) o \(<5\) [risp. compresi tra \(5\) e \(6\)].
Conseguentemente, le soluzioni massimali corrispondenti a condizioni iniziali \(y_0>6\) sono convesse ovunque nel loro intervallo di definizione.
D'altra parte, le soluzioni corrispondenti a dati iniziali \(y_0<6\) sono concave intorno a \(-\infty\), hanno un punto di flesso con ordinata \(5\) e poi diventano convesse fintantoché esistono.
Quest'ultima proprietà ci dice che per \(y_0<6\) si ha \(X^+(y_0)=+\infty\); infatti, se così non fosse, la funzione \(y(\cdot ;y_0)\) doivrebbe essere convessa intorno a \(X^+(y_0)\) e tendere a \(-\infty\) per \(x\nearrow X^+(y_0)\), il che è impossibile (perché il grafico della funzione è tenuto a stare al di sopra della tangente inflessionale).
Per \(y_0>6\), invece, si deve pensare a qualche altra strategia per dimostrare o confutare che \(X^+(y_0)=+\infty\).
Inoltre, l'infinita regolarità del secondo membro ti dice che ogni soluzione massimale del PdC è \(C^\infty\) nel proprio insieme di definizione.
La funzione \(y^*(x):=6\) è l'unica soluzione stazionaria della EDO; ergo, data l'unicità locale, il grafico ogni altra soluzione massimale del PdC con \(y_0\neq 6\) non ha punti in comune col grafico della \(y^*\).
Conseguentemente, se \(y_0>6\) [risp. \(y_0<6\)], allora la soluzione massimale \(y(\cdot ;y_0)\) soddisfa \(y(x;y_0)>6\) [risp \(<6\)] per ogni \(x\) nel suo insieme di definizione.
Hai evidentemente \(f(x,y)>0\) se e solo se \(y>6\); ergo hai \(y^\prime (\cdot ;y_0)>0\) [risp. \(<0\)] per ogni soluzione massimale \(y(\cdot ;y_0)\) che soddisfa \(y(x ;y_=0\>6\) [risp. \(<6\)] nel suo insieme di definizione, ossia per ogni soluzione massimale corrispondente a condizione iniziale \(y_0>6\) [risp. \(<6\)].
Conseguentemente, le soluzioni massimali corrispondenti a valori iniziali \(>6\) [risp. \(<6\)] sono strettamente crescenti [risp. strettamente decrescenti] nel loro insieme di definizione.
Chiamiano \(]X_-(y_0),X^+(y_0)[\) l'intervallo di definizione della soluzione massimale \(y(\cdot ;y_0)\) con \(y_0\neq 6\).
Evidentemente, per la monotonia provata sopra, esistono entrambi i limiti:
\[
\lim_{x\searrow X_-(y_0)} y(x;y_0)\qquad \text{e} \qquad \lim_{x\nearrow X^+(y_0)} y(x;y_0)
\]
e si ha:
\[
\lim_{x\searrow X_-(y_0)} y(x;y_0) =\begin{cases} \inf y(\cdot ;y_0) &\text{, se } y_0>6 \\ \sup y(\cdot ;y_0) &\text{, se } y_0<6\end{cases}\qquad \text{e} \qquad \lim_{x\nearrow X^+(y_0)} y(x;y_0)=\begin{cases} \sup y(\cdot ;y_0) &\text{, se } y_0>6 \\ \inf y(\cdot ;y_0) &\text{, se } y_0<6\end{cases}
\]
Dato che le soluzioni massimali sono limitate inferiormente [risp. superiormente] dal grafico della \(y^*\) per \(y_0>6\) [risp. \(y_0<6\)], allora il primo dei due limiti scritti sopra esiste sempre finito; detto \(l\) tale limite, per il teorema dell'asintoto \(l\) deve soddisfare la condizione:
\[
(l-6)e^l =0
\]
il che equivale a dire che \(l=6\). Conseguentemente non può essere \(X_-(y_0)>-\infty\), perché altrimenti la soluzione massimale \(y(\cdot ;y_0)\) potrebbe prolungarsi a sinistra di \(X_-(y_0)\) ed attraverserebbe il grafico della soluzione stazionaria, il che è assurdo; ne viene che in ogni caso \(X_- (y_0)=-\infty\), sicché le soluzioni massimali del PdC sono tute definite in intervalli del tipo \(]-\infty ,X^+(y_0)[\).
Analogamente, il secondo limite non può essere finito. Infatti se risultasse \(\lim_{x\nearrow X^+(y_0)} y(x;y_0) =L\in \mathbb{R}\), allora \(L\) dovrebbe soddisfare \((L-6)e^L=0\) per il teorema dell'asintoto e perciò dovrebbe essere \(L=6\); da ciò seguirebbe \(6\leq y(\cdot ;y_0)\leq 6\) ossia \(y(\cdot ;y_0)=y^*(\cdot)\) ovunque, il che è assurdo per \(y_0\neq 6\); pertanto:
\[
\lim_{x\nearrow X^+(y_0)} y(x;y_0) =\begin{cases} +\infty &\text{, se } y_0>6 \\ -\infty &\text{, se } y_0<6\; .\end{cases}
\]
Questo, però, non ci aiuta nello stabilire se \(X^+(y_0)<+\infty\) o se \(X^+(y_0)=+\infty\); perciò si deve procedere in altro modo...
Per quanto riguarda le caratteristiche delle soluzioni massimali, derivando m.a.m. la EDO si vede che:
\[
y^{\prime \prime} (x)= e^{y(x)}\ y^\prime(x)\ (y(x)-5) = e^{2y(x)}\ (y(x)-6)(y(x)-5)
\]
sicché le soluzioni massimali sono convesse [risp. concave] fintantoché esse assumono valori \(>6\) o \(<5\) [risp. compresi tra \(5\) e \(6\)].
Conseguentemente, le soluzioni massimali corrispondenti a condizioni iniziali \(y_0>6\) sono convesse ovunque nel loro intervallo di definizione.
D'altra parte, le soluzioni corrispondenti a dati iniziali \(y_0<6\) sono concave intorno a \(-\infty\), hanno un punto di flesso con ordinata \(5\) e poi diventano convesse fintantoché esistono.
Quest'ultima proprietà ci dice che per \(y_0<6\) si ha \(X^+(y_0)=+\infty\); infatti, se così non fosse, la funzione \(y(\cdot ;y_0)\) doivrebbe essere convessa intorno a \(X^+(y_0)\) e tendere a \(-\infty\) per \(x\nearrow X^+(y_0)\), il che è impossibile (perché il grafico della funzione è tenuto a stare al di sopra della tangente inflessionale).
Per \(y_0>6\), invece, si deve pensare a qualche altra strategia per dimostrare o confutare che \(X^+(y_0)=+\infty\).
Ciao!
Grazie mille per la spiegazione. Adesso la soluzione mi è più chiara, ma ho un paio di domande su alcuni passaggi:
1) Per calcolare l'asintoto orizzontale utilizzi l'apposito teorema. Non riesco però a capire come mai quando $t->-oo$ ho un asintoto $y=6$ mentre se $t->+oo$ allora il limite tende a $-oo$ e non ho nemmeno asintoti obliqui.
Io ho applicato il teorema in questo modo:
$lim_(t->-oo) (y-6)e^y$ sostituisco $a$ ad $y(t)$ e quindi:
$lim_(t->-oo) (a-6)e^a$ ora per il teorema deve essere:
$(a-6)e^a=0$ e quindi
$a=6$ è il valore della costante e dunque
$y(t)=6$ è asintoto
Però ho anche lo stesso risultato se $lim_(t->+oo) (y-6)e^y$
Ti allego l'immagine del risultato.
Grazie mille per l'aiuto
Ciaoo!
Grazie mille per la spiegazione. Adesso la soluzione mi è più chiara, ma ho un paio di domande su alcuni passaggi:
1) Per calcolare l'asintoto orizzontale utilizzi l'apposito teorema. Non riesco però a capire come mai quando $t->-oo$ ho un asintoto $y=6$ mentre se $t->+oo$ allora il limite tende a $-oo$ e non ho nemmeno asintoti obliqui.
Io ho applicato il teorema in questo modo:
$lim_(t->-oo) (y-6)e^y$ sostituisco $a$ ad $y(t)$ e quindi:
$lim_(t->-oo) (a-6)e^a$ ora per il teorema deve essere:
$(a-6)e^a=0$ e quindi
$a=6$ è il valore della costante e dunque
$y(t)=6$ è asintoto
Però ho anche lo stesso risultato se $lim_(t->+oo) (y-6)e^y$
Ti allego l'immagine del risultato.
Grazie mille per l'aiuto
Ciaoo!
Di asintoti obliqui non ne avevo parlato, infatti.
Per l'asintoto orizzontale a sinistra c'è tutto spiegato sopra; rileggi con attenzione.
Per quanto riguarda il fatto che \(y(x;y_0)\to \pm \infty\) per \(x\nearrow X^+(y_0)\), la cosa si spiega come segue.
Per fissare le idee, prendiamo \(y_0>6\), di modo che \(y(x;y_0)>6\); per monotonia il limite \(\lim_{x\nearrow X^+(y_0)} y(x;y_0)\) esiste ed è uguale al \(\sup_{x\in ]-\infty ,X^+(y_0)[} y(x;y_0)\); per assurdo, supponiamo che \(\lim_{x\nearrow X^+(y_0)} y(x;y_0)=L\) sia finito; il valore \(L\) allora è soluzione dell'equazione \((L-6)e^L=0\) (teor. dell'asintoto), ergo \(L=6\); ma allora, dato che \(L\) è l'estremo superiore di \(y(\cdot;y_0)\), dovresti avere \(y(x;y_0)\leq 6=L\); ma ciò è assurdo, perché viola il principio di tricotomia (i.e., il numero \(y(x;y_0)\) dovrebbe essere contemporaneamente \(>6\) e \(\leq 6\)).
Per l'asintoto orizzontale a sinistra c'è tutto spiegato sopra; rileggi con attenzione.
Per quanto riguarda il fatto che \(y(x;y_0)\to \pm \infty\) per \(x\nearrow X^+(y_0)\), la cosa si spiega come segue.
Per fissare le idee, prendiamo \(y_0>6\), di modo che \(y(x;y_0)>6\); per monotonia il limite \(\lim_{x\nearrow X^+(y_0)} y(x;y_0)\) esiste ed è uguale al \(\sup_{x\in ]-\infty ,X^+(y_0)[} y(x;y_0)\); per assurdo, supponiamo che \(\lim_{x\nearrow X^+(y_0)} y(x;y_0)=L\) sia finito; il valore \(L\) allora è soluzione dell'equazione \((L-6)e^L=0\) (teor. dell'asintoto), ergo \(L=6\); ma allora, dato che \(L\) è l'estremo superiore di \(y(\cdot;y_0)\), dovresti avere \(y(x;y_0)\leq 6=L\); ma ciò è assurdo, perché viola il principio di tricotomia (i.e., il numero \(y(x;y_0)\) dovrebbe essere contemporaneamente \(>6\) e \(\leq 6\)).
Ciao!
Grazie mille per la spiegazione.. ho riletto tutta la spiegazione e svolto l'esercizio passo passo. Ora mi è tutto più chiaro!
Grazie ancora per l'ottima spiegazione
Ciaoo
Grazie mille per la spiegazione.. ho riletto tutta la spiegazione e svolto l'esercizio passo passo. Ora mi è tutto più chiaro!
Grazie ancora per l'ottima spiegazione
Ciaoo
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