Svolgimento serie
Giorno a tutti, vi chiedo consulenza sullo svolgimento di una serie perchè non sono troppo ferrato sull'argomento e volevo capire se era giusto muovermi in questa maniera..
$\sum_{k=1}^infty ((5^-)+sqrt(n^2+2n+2))/(cos(n!)+3^(-n)+ln(4^n+2))$
studiando il limite che tende ad infinito abbiamo che
$5^(-n)$ --> 0
$cos(n!)$ --> oscilla tra -1 e 1 e
$3^(-n)$ -->0 quindi risulta asintoticamente
$\lim_{n\to\infty} (sqrt(n^2+2n+2))/ln(4^n+2)$ ora io ho ragionato cosi :
$ln(4^n+2)$ --> $4^n$ asintoticamente per il denominatore, mentre
$sqrt(n^2+2n+2)$ --> $n$ per raggruppamento col grado maggiore al numeratore, quindi :
$\lim_{n\to\infty} n/4^n = 0 $ per valori asintotici, la serie può convergere quindi applico il criterio della radice in questo modo
$(n^(1/n))/4$ --> $(e^((1/n)ln(n))/4)$ ora $(1/n)ln(n)$ tende a 0 per n che tende a infinito quindi il risultato è
$1/4 < 1$ quindi converge
può andare? i miei dubbi sono soprattutto sul logaritmo perchè non sono sicuro si possa trattare cosi, vi ringrazio anche solo per eventuali consigli
ciao
$\sum_{k=1}^infty ((5^-)+sqrt(n^2+2n+2))/(cos(n!)+3^(-n)+ln(4^n+2))$
studiando il limite che tende ad infinito abbiamo che
$5^(-n)$ --> 0
$cos(n!)$ --> oscilla tra -1 e 1 e
$3^(-n)$ -->0 quindi risulta asintoticamente
$\lim_{n\to\infty} (sqrt(n^2+2n+2))/ln(4^n+2)$ ora io ho ragionato cosi :
$ln(4^n+2)$ --> $4^n$ asintoticamente per il denominatore, mentre
$sqrt(n^2+2n+2)$ --> $n$ per raggruppamento col grado maggiore al numeratore, quindi :
$\lim_{n\to\infty} n/4^n = 0 $ per valori asintotici, la serie può convergere quindi applico il criterio della radice in questo modo
$(n^(1/n))/4$ --> $(e^((1/n)ln(n))/4)$ ora $(1/n)ln(n)$ tende a 0 per n che tende a infinito quindi il risultato è
$1/4 < 1$ quindi converge
può andare? i miei dubbi sono soprattutto sul logaritmo perchè non sono sicuro si possa trattare cosi, vi ringrazio anche solo per eventuali consigli
ciao
Risposte
Guarda che \(\log (4^n +2)\) non è affatto asintoticamente equivalente a \(4^n\).
si in effetti io partivo dal presupposto di poter aver sbagliato qualcosa, suggerimenti? più che altro capire se è totalmente sbagliato il ragionamento, perchè dalla scala degli infiniti non riesco a capire se il log(m^n) cresca più o meno di n e quindi se il limite risulta 0 o infinito
io calcolerei meglio il limite del termine generale della serie per vedere se almeno la condizione necessaria risulta verificata
Qualcosa mi fa pensare che manchi la condizione necessaria..
"Noisemaker":
io calcolerei meglio il limite del termine generale della serie per vedere se almeno la condizione necessaria risulta verificata
Ecco appunto
è che non avevo mai incontrato il log di un numero elevato alla n, in sostanza il numeratore cresce più velocemente e quindi il limite tende a infinito..di conseguenza non cè la condizione necessaria "= 0" e la serie diverge a + infinito, se non ho capito male
in realtà quel limite tende ad un valore finito .....
ok ci sono, e in effetti era anche abbastanza semplice..il logaritmo sotto diventa
$ln(4^n(1+2/4^n))$ --> $ln(4^n)$ --> $nln(4)$ quindi semplificato con la n al numeratore il risultato è 1/ln(4) che tra le altre cose è stata una delle mie prime supposizioni data per sbagliata senza motivo..grazie a tutti per gli interventi
$ln(4^n(1+2/4^n))$ --> $ln(4^n)$ --> $nln(4)$ quindi semplificato con la n al numeratore il risultato è 1/ln(4) che tra le altre cose è stata una delle mie prime supposizioni data per sbagliata senza motivo
..grazie a tutti per gli interventi
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